민락동 고등수학과외

매개변수와 극값 위치를 말로 설명할 수 있어도, 그 조건을 식에 실제로 적용하는 단계에서 답이 달라질 수 있다. 미적분Ⅱ의 도함수와 그래프 단원에서는 “x=1에서 극댓값”이라는 말을 함수값의 조건으로 바꿀지, 도함수의 조건으로 바꿀지 먼저 구별해야 한다. 다음과 같은 수업 예시를 통해 배움노트 고등수학 수업에서 확인할 기준을 살펴보자.

분자가 0이라는 풀이가 조건에 맞는지 대조하기

문제는 f(x)=(ln x−a)/x, x>0, a∈R가 x=1에서 극댓값을 갖도록 하는 a를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “분자가 0이어야 하므로 ln1−a=0, 따라서 a=0”이라는 풀이가 나올 수 있다. 그러나 이 계산은 f(1)=0을 만드는 조건일 뿐, x=1에서 극댓값을 만든다는 조건과 같지 않다. 먼저 “극값 조건은 f(1)=0인가, f′(1)=0인가?”라고 묻고, 학생이 문제의 표현과 처음 쓴 식을 직접 대조하게 한다.

이때 오답 하나만으로 계산 능력이나 개념 혼동의 원인을 확정하지 않는다. f(1)을 구하라는 말과 f′(1)=0을 확인하라는 말을 구별하는지, 일계도함수가 증가·감소 방향을 나타낸다는 점을 아는지, 이계도함수가 그래프의 볼록성을 살피는 데 쓰인다는 점을 혼동하지 않는지 차례로 확인한다. 도함수가 0인 점만으로 극값을 단정할 수 없고, 이계도함수의 값만으로 변곡점을 정할 수도 없으므로 좌우 변화와 성립 조건을 표시해야 한다.

도함수의 부호 변화로 극댓값을 확인하기

학생은 몫을 미분해 f′(x)=(1−ln x+a)/x²를 얻는다. 교사는 이 식에서 x>0이므로 분모 x²가 양수라는 사실을 먼저 기준으로 제시하고, 실제 계산과 매개변수 선택은 학생이 이어 가게 한다. x=1에서 극값을 가지려면 우선 f′(1)=0이어야 하므로 1+a=0, 즉 a=−1이다.

a=−1을 대입하면 f′(x)=−ln x/x²가 된다. 학생은 ln x의 부호를 직접 표시해 0<x<1에서는 ln x<0이므로 f′(x)>0, x>1에서는 ln x>0이므로 f′(x)<0임을 확인한다. 따라서 x=1의 좌우에서 함수가 증가하다 감소하므로 극댓값을 갖는다. 정답은 a=−1이며, f(1)=(ln1+1)/1=1이다. 이 값은 극댓값의 높이이지, 매개변수를 정하는 조건 f(1)=0이 아니다. 이렇게 미분계수 0, 좌우 부호 변화, 원함수의 좌표를 각각 검산해야 한다.

풀이를 가린 상태에서 같은 기준을 새 함수에 적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 앞의 풀이와 정답, 부호 표시를 가린다. 새 문제는 f(x)=ln x/x, x>0의 극댓값을 구하는 것이다. 로그 몫함수를 미분하는 방법은 같지만, 이번에는 극값의 위치가 주어져 매개변수를 역산하는 문제가 아니라 함수에서 위치와 값을 직접 찾아야 한다.

학생은 f′(x)=(1−ln x)/x²를 구한 뒤 x²>0을 적고, 0<x<e에서는 ln x<1이므로 f′(x)>0, x>e에서는 f′(x)<0임을 표시한다. 따라서 x=e에서 증가에서 감소로 바뀌며 극댓값은 f(e)=ln e/e=1/e이다. ln e=1을 대입하고 도함수의 +에서 −로의 변화를 다시 대조하면 정답은 극댓값 1/e, 위치 x=e로 확인된다. 교사의 설명을 덮은 뒤에도 “극값 조건은 f(1)=0인가 f′(1)=0인가?”에 정확히 답하고 이 풀이를 완성한다면, 다음 문제에서도 좌우 구간의 부호와 원함수 좌표를 함께 남기는 기준을 이어 갈 수 있다.