망미동 수학과외

거리 조건을 정수 구간으로 바꾸기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “|x-1|<3인 정수 x를 모두 구하라.”는 문제에 “-2,-1,0,1,2,3,4다.”라고 답한 상황입니다. 여기서 |x-1|은 수직선에서 기준점 1과 x 사이의 거리를 뜻합니다. 따라서 조건 |x-1|<3은 1에서 x까지의 거리가 3보다 짧다는 의미입니다. 거리의 범위를 먼저 부등식으로 바꾸면 -3<x-1<3이고, 양변에 1을 더해 -2<x<4를 얻습니다. 문제는 정수 x를 요구하므로 이 열린 구간 안에 있는 정수만 선택해야 합니다. 답은 -1, 0, 1, 2, 3입니다.

오답에서 바뀌어야 할 판단 확인하기

처음 답에는 -2와 4가 포함되어 있습니다. 교사는 오답만 보고 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 왜 양 끝 수를 넣었는지 함께 살핍니다. “|x-1|<3에서 3보다 작다는 말은 거리 3도 포함할까?”, “x=-2를 넣으면 기준점 1에서 몇 칸 떨어져 있을까?”라고 묻습니다. x=-2이면 |-2-1|=|-3|=3이고, x=4이면 |4-1|=|3|=3입니다. 두 수는 조건의 경계에 놓이지만, 부등호가 ‘작다’인 <이므로 허용되지 않습니다. 이 확인을 통해 절댓값의 의미를 모르는지, 경계를 포함하는 부등호로 잘못 읽었는지, 또는 마지막 정수 선택에서 실수했는지를 나누어 볼 수 있습니다.

학생이 절댓값의 뜻을 바로 설명하기 어렵다면 교사는 먼저 “|x-1|은 원점이 아니라 1에서의 거리”라는 부분을 짚고, 기준점 1의 왼쪽과 오른쪽으로 3만큼 떨어진 경계가 각각 -2와 4임을 말로 보여 줍니다. 다만 문제에서 허용하는 것은 그 경계까지가 아니라 그보다 짧은 거리입니다. 따라서 수직선에서 -2와 4를 포함하지 않는 구간을 생각해야 합니다. 절댓값 밖의 부호나 연산을 따로 계산해야 한다는 점도 함께 확인하되, 이 문제에서는 |x-1| 안의 차를 먼저 계산하는 것이 핵심입니다.

설명 뒤 학생이 수정 풀이를 다시 세우기

설명을 들은 뒤 학생은 처음 답을 그대로 고치는 데서 멈추지 않고, 문제와 조건은 보면서 앞서 적은 풀이와 정답은 가린 상태에서 다시 시작합니다. 먼저 “1에서 x까지의 거리가 3보다 짧다.”고 해석하고, 이를 -3<x-1<3으로 적습니다. 양변에 같은 수 1을 더하는 이유는 가운데의 x-1을 x로 만들기 위해서라고 설명하며 -2<x<4를 얻습니다. 그다음 정수 조건에 맞춰 -2와 4 사이의 정수만 차례로 적어 -1,0,1,2,3을 답으로 정합니다. 처음 답에서 바꾼 판단은 양 끝 경계의 포함 여부입니다. 단순히 숫자를 지운 것이 아니라, ‘거리 3보다 작다’는 조건 때문에 -2와 4를 제외했다고 문제와 연결해 말하는지가 중요합니다.

풀이를 마친 뒤 양 끝 수를 대입해 확인합니다. x=-2이면 |x-1|=3, x=4이면 |x-1|=3이므로 둘 다 |x-1|<3을 만족하지 않습니다. 반면 x=3이면 |3-1|=2이고 x=-1이면 |-1-1|=2이므로 조건을 만족합니다. 이는 같은 부등식을 기계적으로 반복하는 검산이 아니라, 경계값과 안쪽 값에 원래 조건을 직접 대입해 답의 범위를 확인하는 과정입니다. 이후 풀이를 가리고 같은 문제를 다시 해결할 때 경계를 제외하는 이유까지 설명하는지 살펴봅니다.

새 절댓값 조건에 적용하고 다음 확인하기

이제 문제를 바꾸어 “|x|<3인 정수 해를 모두 써라.”라고 제시합니다. 이번에는 기준점이 1이 아니라 원점 0이므로 -3<x<3으로 바꿀 수 있습니다. 정수 해는 -2,-1,0,1,2이고, 거리 3인 -3과 3은 엄격한 부등식의 경계이므로 제외합니다. 앞 문제에서 익힌 방법을 그대로 적용할 수 있지만, 기준점이 달라졌다는 차이는 확인해야 합니다. 학생이 새 문제를 스스로 해결한 뒤, 왜 ±3을 넣지 않았는지 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.

필요하다면 “합의 절댓값은 언제나 각각의 절댓값의 합이다.”라는 설명도 비교해 볼 수 있습니다. |-10+10|은 0이지만 |-10|+|10|은 20이므로 이 설명은 항상 맞지 않습니다. 이 비교는 절댓값 부등식의 경계 문제와 같은 결론을 반복하려는 것이 아니라, 절댓값을 식 전체에 적용하는 경우와 각 항에 따로 적용하는 경우를 구분하는 자료입니다. 다음 수업에서는 새 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤에도 학생이 기준점, 거리 조건, 경계 포함 여부를 차례로 확인하는지 살펴보고, 막히는 단계에 맞춰 개념 설명이나 계산 도움을 조절합니다.