간석지구 수학과외

2⁵=32에서 빠진 조건 찾기

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. 학생 5명 중 1명 이상을 뽑고, 5명 전원을 뽑는 경우도 허용할 때 선택 방법의 수를 구하는 문제입니다. 처음에는 “각 학생을 뽑거나 뽑지 않는 두 가지 선택이 5명에게 있으므로 2⁵=32다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다.

2⁵이라는 계산 자체는 각 학생에게 선택 여부가 두 가지씩 있다는 점을 나타냅니다. 그러나 이 32가지에는 5명 모두 뽑지 않는 경우도 포함되어 있습니다. 문제는 1명 이상을 뽑는 경우를 묻고 있으므로, 아무도 뽑지 않은 한 가지는 조건에 맞지 않습니다. 따라서 처음 답은 선택 조건을 끝까지 반영하지 못한 답입니다.

이때 오답 하나만 보고 계산 실수라고 단정하지는 않습니다. 교사는 학생에게 “2⁵의 32가지 안에 아무도 선택하지 않은 경우도 들어 있을까?”라고 묻고, 각 학생의 선택 여부를 두 가지로 세었다는 판단을 말로 확인합니다. 순서나 역할을 구분해 세는 문제인지도 함께 살펴봅니다. 이 문제에서는 뽑힌 학생들의 순서나 역할이 결과를 바꾸지 않으므로, 같은 학생들을 다른 순서로 적어 다시 세지 않습니다.

전체 경우에서 공집합을 제외하는 수정 풀이

교사는 먼저 5명의 각자에 대해 ‘뽑는다’와 ‘뽑지 않는다’가 각각 두 가지 선택이라는 점을 짚습니다. 그러므로 조건을 적용하기 전 전체 부분집합의 수는 2⁵=32입니다. 여기서 아무도 뽑지 않은 경우는 뽑힌 사람이 0명인 경우이므로, ‘1명 이상’이라는 문제의 조건에 맞지 않아 제외해야 합니다.

학생은 이 설명을 바탕으로 처음의 식에서 무엇을 바꾸어야 하는지 다시 적습니다. 전체 경우의 수에서 조건에 맞지 않는 한 가지를 빼므로 2⁵-1=32-1=31입니다. 이때 32는 최종 답이 아니라 모든 선택 여부를 포함한 중간 계산값이고, 문제에서 요구한 선택 방법의 수는 31이라는 점을 구분합니다.

학생이 바로 이유를 설명하기 어렵다면 교사가 ‘모두 뽑지 않는 선택’을 한 부분 먼저 함께 확인하고, 그다음 왜 하나를 빼야 하는지는 학생이 이어서 말하도록 돕습니다. 이후 학생은 “2⁵는 아무도 뽑지 않는 경우까지 포함하므로, 1명 이상이라는 조건을 반영하려고 1을 뺀다”고 문제의 조건과 연결해 수정 풀이를 완성합니다.

인원별로 나누어 결과 확인하기

수정한 31이 실제 선택들을 빠뜨리거나 중복해서 센 값인지 확인하기 위해, 뽑는 인원별로 경우를 나누어 볼 수 있습니다. 한 명을 뽑는 경우는 5가지, 두 명을 뽑는 경우는 10가지, 세 명은 10가지, 네 명은 5가지, 다섯 명은 1가지입니다. 따라서 전체 합은 5+10+10+5+1=31입니다.

이 확인은 2⁵-1 계산을 그대로 반복하는 것이 아니라, 가능한 뽑힌 인원 수를 기준으로 같은 결과가 나오는지 살펴보는 방법입니다. 학생은 앞의 수정 풀이와 답을 가린 뒤 대표 문제의 조건만 보고 다시 시작합니다. 혼자 진행하기 어렵다면 교사는 계산에서 막힌 것인지, ‘아무도 뽑지 않는 경우’를 제외하는 조건 해석에서 막힌 것인지 확인해 도움의 정도를 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 문제의 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단으로 이어가기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제를 적용해 보겠습니다. 서로 다른 카드 4장 중 한 장 이상 고르는 방법을 묻는다면, 각 카드마다 고르거나 고르지 않는 두 가지 선택이 있으므로 전체는 2⁴=16가지입니다. 이 중 아무 카드도 고르지 않은 한 가지를 제외하면 16-1=15가지입니다. 카드의 수만 5장에서 4장으로 바뀌었지만, ‘한 장 이상’이라는 조건 때문에 공집합을 제외하는 방법은 그대로 사용할 수 있습니다.

추가로 순서와 역할의 차이를 확인할 필요가 있을 때는 학생 9명 중 대표와 부대표를 겸임 없이 한 명씩 뽑는 경우를 비교할 수 있습니다. 대표를 먼저 9명 중에서 고르고 부대표를 남은 8명 중에서 고르므로 9×8=72가지입니다. 대표와 부대표는 역할이 다르기 때문에 두 사람의 순서를 2로 나누면 안 됩니다. 먼저 새 카드 문제를 이전 풀이 없이 해결하는지 확인하고, 이어서 선택 순서가 결과를 바꾸는 문제에서도 조건에 맞는 세기 기준을 설명하는지를 다음 학습에서 살펴봅니다.