광안동 수학과외

대표 문제에서 0.9가 된 이유

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. 사건 A의 확률이 0.4, 사건 B의 확률이 0.5이고 두 사건이 독립일 때, P(A∩B)를 구하는 문제입니다. 여기서 묻는 값은 A와 B가 함께 일어날 확률입니다. 두 사건의 확률을 더한 값이나 어느 한 사건의 확률이 아니라, 두 조건이 동시에 만족되는 경우를 찾아야 합니다.

학생이 처음에 “0.9다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 0.9는 0.4와 0.5를 더한 값이므로, 학생이 두 사건이 함께 일어나는 상황을 확률의 합으로 처리했을 가능성은 확인할 수 있습니다. 다만 이 답 하나만으로 원인을 단정하지는 않습니다. 교사는 “문제에서 구하라고 한 것은 A 또는 B가 일어나는 확률일까, A와 B가 모두 일어나는 확률일까?”라고 묻고, 학생이 문제의 기호와 말을 어떻게 연결했는지 먼저 살펴봅니다.

독립 조건을 확인하고 식을 다시 세우기

교사는 ‘독립’이라는 조건이 이 문제의 핵심임을 짚습니다. 독립인 두 사건은 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않습니다. 따라서 A가 일어났다는 조건 아래에서 B가 일어날 확률은 원래의 P(B)와 같아 P(B|A)=P(B)=0.5입니다. 이때 A와 B가 함께 일어날 확률은 P(A)와 A가 일어난 뒤의 B 확률을 곱하여 구합니다.

학생이 조건부확률의 의미를 바로 설명하기 어렵다면, 교사는 “A가 일어난 뒤에도 B의 확률이 0.5로 그대로인가?”를 함께 확인합니다. 필요한 경우 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)라는 식의 앞부분을 교사가 써 주고, 학생이 독립 조건을 이용해 P(B|A)에 0.5를 넣도록 돕습니다. 이 과정에서 0.4와 0.5를 더하는 것은 ‘둘 다 일어남’이라는 질문에 맞는 연산이 아니라는 점도 문제의 표현과 연결해 확인합니다.

학생의 수정 풀이와 검산

수정 풀이에서는 학생이 먼저 두 사건이 독립이라는 조건을 확인한 뒤, 함께 일어날 확률을 곱으로 나타냅니다. P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.4×0.5=0.2이므로 정답은 0.2입니다. 학생은 처음의 0.9에서 0.2로 답을 바꾸면서, 두 확률을 더한 것이 아니라 ‘A와 B가 모두 일어나는 경우’이므로 독립 조건에 따라 곱했다고 설명해 봅니다.

검산은 같은 곱셈을 단순히 반복하는 대신 조건부확률로 확인할 수 있습니다. P(A∩B)=0.2를 A가 일어날 확률 0.4로 나누면 P(B|A)=0.2÷0.4=0.5가 됩니다. A가 일어났다는 조건을 반영한 뒤에도 B의 확률이 원래 P(B)=0.5와 같으므로, 계산한 0.2는 독립이라는 조건과 맞습니다. 풀이 순서를 외워 쓴 것인지 확인할 때는 이 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 보게 한 뒤, 독립 조건과 ‘함께’라는 표현을 찾아 다시 시작하게 합니다. 계산에서 막히면 곱셈을 돕고, 조건 해석에서 막히면 교집합의 뜻을 다시 설명하는 식으로 도움을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이제 기본 문제와 다른 적용 문제를 보겠습니다. 독립인 사건 A와 B의 확률이 각각 1/2, 1/3일 때, 두 사건이 모두 일어나지 않을 확률을 구합니다. 이번에는 A와 B가 일어나는 확률이 아니라 각각의 여사건 A^c, B^c가 함께 일어나는 확률을 묻습니다. 따라서 P(A^c)=1−1/2=1/2, P(B^c)=1−1/3=2/3이고, 독립인 사건의 여사건도 함께 곱할 수 있으므로 (1/2)×(2/3)=1/3입니다. 학생이 먼저 ‘일어나지 않음’에 해당하는 확률을 바꾼 뒤 곱하는지 확인합니다.

독립 조건의 필요성을 더 분명히 보고 싶다면 주사위에서 A와 B를 모두 {2, 4, 6}으로 두는 비교를 선택할 수 있습니다. 이때 P(A)=P(B)=1/2이고 A와 B가 같은 사건이므로 P(A∩B)=1/2입니다. 반면 P(A)×P(B)=1/4이므로 두 값이 다릅니다. 확률을 곱하려면 독립이라는 조건이 필요하다는 점을 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 풀이를 가린 상태에서도 문제에서 ‘독립’과 ‘함께’를 찾아 식을 세우고, 새 조건에서는 여사건으로 바꾼 이유까지 설명하는지를 확인합니다.