남천동 수학과외

대표 문제에서 달라진 부호 확인하기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 5-x≥2를 풀어라. 학생은 “x≥3이다.”라고 적었습니다. 이 답은 최종 부등호 방향이 조건과 맞지 않습니다. 양변에서 5를 빼면 5-x≥2는 -x≥-3이 됩니다. 여기까지는 양변에 같은 수를 뺀 것이므로 부등호 방향이 그대로입니다. 문제는 그다음에 음의 계수 -1을 없애는 과정에서 생깁니다. -x를 x로 바꾸려면 양변에 -1을 곱해야 하며, 음수를 곱할 때는 수직선에서 좌우 순서가 바뀌므로 부등호 방향도 바뀌어야 합니다. 따라서 -x≥-3에서 x≤3이 정답입니다.

처음 답을 곧바로 특정 원인의 결과라고 단정하지 않고, 교사는 “5를 먼저 없앤 뒤 어떤 식이 남았는지”, “-x를 x로 바꾸려면 무엇을 해야 하는지”를 차례로 묻습니다. 학생이 음수를 곱할 때 방향이 바뀐다는 개념은 말할 수 있지만 대표 문제에서만 놓쳤다면 풀이 순서와 표시 방법을 조정할 수 있습니다. 반대로 -x≥-3에서 x≥3이라고 생각한 이유를 설명하기 어렵다면, 음수의 곱셈과 수직선의 대소 관계를 짧은 수로 다시 확인합니다.

조건을 짚고 수정 풀이를 직접 이어 가기

교사는 대표 문제의 핵심 조건이 “x의 계수가 음수인 상태에서 양수 계수로 바꾸는 것”임을 짚습니다. 먼저 학생과 함께 5-x≥2에서 양변에 5를 빼서 -x≥-3을 씁니다. 이 단계에서는 같은 수를 양변에 뺐으므로 방향을 바꾸지 않는다고 표시합니다. 이어 -x의 계수인 -1을 없애기 위해 양변에 -1을 곱한다고 설명하고, 이때 음의 수를 곱하므로 ≥가 ≤로 바뀐다는 점을 강조합니다.

설명을 한 번에 이해하기 어려워하면 교사가 -3과 -2를 수직선에서 비교해 보이며, -3에 -1을 곱한 3과 -2에 -1을 곱한 2의 순서가 반대가 되는 것을 짧게 보여 줄 수 있습니다. 그런 다음 나머지 단계를 학생이 다시 시도합니다. 학생은 처음의 “x≥3”에서 방향을 바꾸어 -x≥-3에서 x≤3이라고 고치고, x의 값이 3 이하라는 뜻까지 말하거나 적습니다. 단순히 부등호에 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 왜 음수를 곱했는지와 최종적으로 어떤 범위의 x를 구하는지 문제 조건과 연결해 답을 완성합니다.

원래 조건에 대입해 풀이 확인하기

정답 x≤3이 원래 부등식에 맞는지는 대표값을 대입해 확인할 수 있습니다. x=2는 3≥2가 되어 조건을 만족하고, x=4는 1≥2가 되어 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 3 이하의 값은 가능하고 3보다 큰 값은 가능하지 않다는 결론이 원래 식과 일치합니다. 이 확인은 풀이를 그대로 반복하는 것이 아니라, 해의 범위에서 각각 한 값을 골라 원래 조건에 넣어 보는 검산입니다.

다시 풀 때는 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건과 수치만 보게 합니다. 학생이 처음부터 부등호 방향을 잘못 쓰면 음수의 곱셈 개념을 다시 확인하고, 방향은 맞지만 5를 옮기는 과정에서 계산이 흐트러지면 식의 각 항이 무엇을 뜻하는지 함께 살핍니다. 다른 풀이를 사용하더라도 양변에 한 연산을 똑같이 적용하고, 음수를 곱하거나 나눌 때 방향을 바꾸었다면 조건과 계산이 맞는 풀이로 인정할 수 있습니다.

새로운 계수에서도 같은 판단이 필요한지 확인하기

이제 기본 문제와 다른 문제인 5-2x<11을 풀어라를 제시합니다. 먼저 양변에서 5를 빼면 -2x<6입니다. x의 계수 -2를 없애기 위해 양변을 -2로 나누므로 부등호 방향이 바뀌어 x>-3이 됩니다. 앞 문제와 공통점은 음의 계수를 양수로 바꾸는 순간 방향이 뒤집힌다는 점이고, 달라진 점은 계수가 -1이 아니라 -2이며 부등호가 <라는 점입니다. 학생은 이전 정답을 그대로 옮기지 않고 새 식에서 필요한 연산을 다시 판단해야 합니다.

필요하다면 “양변에 같은 수를 곱하면 부등호 방향을 유지한다”는 설명이 항상 맞는지 비교할 수 있습니다. 5<6의 양변에 -1을 곱하면 -5와 -6을 비교하게 되어 -5>-6입니다. 이 예에서는 곱하는 수가 음수라 방향이 뒤집힙니다. 다음 확인에서는 학생이 새 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 5-2x<11을 스스로 다시 구성하는지, -2로 나눌 때 방향이 바뀌는 근거를 설명하는지, 다른 계수에서도 같은 판단을 적용하는지를 살펴봅니다.