광주동천동 수학과외

“공약수가 없으므로 구할 수 없다”는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “양의 정수 8과 15의 최소공배수를 구하라.” 학생은 “공약수가 없으므로 구할 수 없다”고 풀이했습니다. 그러나 이 결론은 최소공배수의 의미와 공약수의 조건을 서로 바꾸어 적용한 오답입니다. 최소공배수는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 양의 정수이고, 8과 15가 서로소인지 확인하는 것은 오히려 최소공배수를 빠르게 구하는 데 사용할 수 있습니다.

먼저 ‘공약수가 없다’는 말을 정확히 살펴봅니다. 양의 정수 8과 15의 공약수에는 1이 포함됩니다. 따라서 공약수가 전혀 없는 것은 아닙니다. 8의 약수는 1, 2, 4, 8이고 15의 약수는 1, 3, 5, 15이므로, 두 수의 최대공약수는 1입니다. 공약수가 1뿐인 두 수를 서로소라고 합니다. 이때 필요한 것은 “구할 수 없다”는 판단이 아니라, 서로소라는 조건을 이용해 최소공배수를 계산하는 것입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 학생에게 바로 원인을 단정하기보다 “공약수가 없다는 말에서 1도 제외한 것인지, 아니면 공약수와 공배수를 같은 뜻으로 생각한 것인지”를 물어봅니다. 이어 8과 15를 각각 나누어 나머지가 0이 되는 수를 짧게 적어 보게 합니다. 학생이 약수 목록은 말하지만 최소공배수의 뜻을 설명하지 못한다면 개념 연결이 필요한 경우입니다. 반대로 서로소의 뜻은 설명하지만 답을 구하지 못한다면, 문제의 조건을 계산식으로 옮기는 과정에서 막힌 것인지 확인합니다.

학생이 이유를 말하기 어려워하면 교사가 먼저 8의 약수와 15의 약수에서 공통으로 나타나는 수를 함께 찾습니다. 그 결과 공통 약수는 1뿐임을 확인한 뒤, “이 조건에서는 두 수에 겹치는 소인수가 없으므로 두 수의 곱이 가장 작은 공통 배수가 된다”고 설명합니다. 다만 이 방법은 두 수가 서로소일 때 적용됩니다. 모든 두 수의 최소공배수가 언제나 곱과 같다는 뜻은 아닙니다.

설명을 이용해 수정 풀이 다시 쓰기

이제 학생은 처음의 결론을 가리고 대표 문제를 다시 풉니다. 먼저 8과 15의 최대공약수가 1인지 확인합니다. 1은 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 수이고, 다른 공통 약수는 없으므로 두 수는 서로소입니다. 따라서 8과 15의 공통 배수를 만들 때 중복되는 소인수가 없으며, 두 수를 곱한 값이 가장 작은 공통 배수가 됩니다.

8 × 15 = 120이므로 8과 15의 최소공배수는 120입니다. 학생은 처음 답에서 “공약수가 없으므로 구할 수 없다”고 판단했던 부분을 “공약수는 1뿐이므로 서로소이고, 두 수의 곱으로 최소공배수를 구할 수 있다”로 바꾸어 설명합니다. 교사는 계산을 모두 대신하지 않고, 서로소인지 확인하는 단계가 왜 필요한지 짚은 뒤 학생이 곱셈과 최종 결론을 직접 이어 가도록 돕습니다.

검산과 다른 조건에 적용하기

검산은 같은 풀이를 반복하는 대신 120이 두 수의 공배수인지 확인하는 방식으로 진행합니다. 120 ÷ 8 = 15이고 120 ÷ 15 = 8이므로 120은 8과 15로 나누어떨어집니다. 또한 서로소인 두 수의 곱을 계산한 값이므로, 이 문제의 조건에서는 더 작은 양의 공통 배수를 만들 수 없습니다. 학생이 풀이 순서를 외워 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제 조건만 보고 다시 시작하게 하며, 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 적용 문제로 서로소인 7과 9의 최소공배수를 구해 봅니다. 7과 9의 공약수는 1뿐이므로 두 수는 서로소입니다. 따라서 이전과 같은 판단을 적용할 수 있고, 7 × 9 = 63이므로 최소공배수는 63입니다. 이후 “최소공배수는 언제나 두 수의 곱”이라는 설명이 모든 경우에 맞는지 확인하기 위해 12와 18을 비교할 수 있습니다. 두 수의 최대공약수는 6이므로 최소공배수는 12 × 18 ÷ 6 = 36입니다. 이 비교를 통해 두 수가 서로소일 때만 곱을 그대로 최소공배수로 사용할 수 있음을 확인하고, 학생이 새로운 조건에서도 적용 범위를 설명하는지 다음 수업에서 살펴봅니다.