광주동천동 중등수학과외

“60에 3이 있으니 무한소수”라는 답안에서 시작하기

광주동천동중등수학과외 수업에서는 학생이 먼저 적어 둔 한 문장을 그대로 펼쳐 놓았다. 문제는 “21/60을 기약분수로 나타내고 유한소수인지 판단하여 소수로 쓰라”는 내용이었다. 학생은 “60에 소인수 3이 있어 무한소수다.”라고 썼다. 분모 60을 소인수분해하려고 한 점은 문제의 조건을 확인하려는 시도였지만, 판정 시점이 아직 약분 전이었다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “분자 21과 분모 60을 동시에 3으로 나눌 수 있을까?”라고 물었다.

학생은 21÷3=7, 60÷3=20이라고 계산했다. 이 대답과 계산 줄을 함께 보니 약분 자체를 못 하는 것은 아니었다. 다만 실제 풀이에서 약분 전 분모의 소인수만 보고 결론을 내렸다. 따라서 이 한 번의 오답만으로 유리수와 소수의 원리를 모른다고 단정하지 않고, 약분한 뒤 분모를 기준으로 다시 판단하는지 확인하기로 했다.

기약분수 7/20에서 판정 기준 바꾸기

교사는 수정 풀이의 출발점만 한 줄 시범으로 적었다. 21/60=7/20. 그리고 “이제 어느 분모를 조사해야 할까?”라고 다시 물었다. 학생은 60이 아니라 20이라고 답한 뒤, 교사의 설명을 듣고 다음 계산을 직접 이어 갔다. 20=2²×5이므로 기약분수의 분모에는 2와 5만 남는다. 따라서 7/20은 유한소수로 나타낼 수 있다.

학생은 분모를 100으로 바꾸어 7/20=35/100=0.35라고 완성했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 분모의 소인수를 찾는 계산이 아니라, 그 계산을 약분한 뒤에 적용한 순서였다. 교사는 “유한소수 판정은 기약분수의 분모에 적용한다”는 기준까지만 다시 보여 주고, 학생이 20의 소인수를 직접 표시하게 했다. 학생은 60에 남아 있던 3을 그대로 따라가지 않고, 약분 결과인 20만 조사했다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산과 분모 선택

검산은 7/20을 다시 소수로 바꾸는 방식으로 반복하지 않았다. 학생은 0.35×60=21을 계산하여 원래 분수의 분자와 연결했고, 7과 20이 더 이상 같은 수로 나누어지지 않는지 확인했다. 7/20의 분자와 분모가 서로소이므로 기약분수 조건도 충족된다. 이에 따라 최종 답은 21/60=7/20=35/100=0.35이며, 기약분수의 분모 20=2²×5이므로 유한소수이다.

이제 조건을 바꾼 문제로 넘어갔다. “3/n이 유한소수가 되도록 n을 6, 9, 12 중에서 모두 고르라”는 문제에서는 한 분수의 판정을 직접 쓰는 대신 분모 후보를 선택해야 한다. 학생은 먼저 각각 약분했다. 3/6=1/2, 3/9=1/3, 3/12=1/4이다. 1/2와 1/4의 기약분수 분모에는 소인수 2만 있으므로 유한소수이고, 1/3에는 허용되지 않는 소인수 3이 남는다. 따라서 정답은 n=6, 12이다.

다음 문제에서는 기존 오답과 완성된 풀이를 가린 채 분수와 조건만 제시한다. 학생이 먼저 약분한 분모를 적고 그 소인수만 조사한 뒤, “유한소수 판정은 기약분수의 분모에 적용한다”고 이유까지 도움 없이 말하는지 확인한다. 필요할 때는 이 기준 한 문장만 다시 보여 주며, 다음 계산은 학생이 직접 쓰게 한다.