국우동 수학과외

빗변 10cm를 반지름으로 답한 이유 살펴보기

다음 문제에서 학생이 “직각삼각형의 빗변이 10cm이므로 외접원의 반지름도 10cm이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제에서 구하는 값은 빗변의 길이가 아니라 직각삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 외접원의 반지름입니다. 따라서 10cm라는 수치를 그대로 답에 옮기기 전에, 빗변과 외접원의 관계를 확인해야 합니다. 직각삼각형에서는 빗변이 외접원의 지름이므로 반지름은 그 절반입니다.

이 오답만 보고 계산 실수라고 바로 단정하지는 않습니다. 교사는 먼저 “10cm는 문제에서 무엇의 길이로 주어졌나요?”, “반지름과 지름은 어떤 관계인가요?”라고 묻습니다. 학생이 빗변을 외접원의 반지름으로 생각했다면 조건 해석과 도형의 관계를 구별할 필요가 있습니다. 반대로 지름과 반지름의 관계를 말로는 알고 있는데 마지막에 10을 그대로 적었다면, 식을 세우는 과정에서 생긴 실수인지 다시 확인합니다.

외심과 내심에서 거리를 재는 대상 구별하기

이 문제를 풀 때 중요한 것은 외심과 내심을 혼동하지 않는 것입니다. 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이며, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같습니다. 그 같은 거리가 외접원의 반지름입니다. 반면 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점이고, 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이가 같습니다. 그러므로 외접원의 반지름을 구하는 문제에서 내심과 변까지의 거리를 사용하는 것은 맞지 않습니다.

교사는 직각삼각형의 빗변 중점을 기준으로 생각하도록 돕습니다. 직각삼각형에서는 빗변의 중점이 외심이므로, 빗변의 양 끝점까지의 거리는 각각 10÷2=5cm입니다. 직각 꼭짓점까지의 거리도 5cm가 되어 세 꼭짓점까지의 거리가 같아집니다. 이때 학생이 어려워하면 교사가 빗변을 두 부분으로 나누는 단계까지 함께 확인하고, 왜 그 중점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 외접원의 반지름이 되는지는 학생이 이어서 말해 보도록 합니다.

조건을 식으로 바꾸어 수정 풀이하기

학생은 처음 답인 10cm에서 판단을 바꾸어, 10cm가 반지름이 아니라 외접원의 지름이라는 점을 문제 조건과 연결합니다. 빗변의 길이를 10cm라고 두면 외접원의 지름도 10cm이고, 반지름을 r이라 할 때 2r=10입니다. 따라서 r=5이므로 외접원의 반지름은 5cm입니다.

이 과정에서 “빗변의 중점을 찾는다”는 말은 단순히 중간 지점을 표시하는 데 그치지 않습니다. 빗변의 중점은 직각삼각형의 외심이고, 외심에서 꼭짓점까지의 거리가 외접원의 반지름이기 때문에 그 중점에서 빗변의 끝점까지의 길이를 구하는 것입니다. 학생이 전체 설명을 한 번에 이해하지 못하면 교사는 먼저 10cm를 두 부분으로 나누어 각 부분이 5cm임을 보여 주고, 학생은 이어서 그 5cm가 왜 반지름인지 설명한 뒤 최종 답을 다시 적습니다.

원래 조건으로 검산하고 새 길이에 적용하기

검산할 때 같은 풀이를 그대로 반복하기보다, 구한 반지름이 원래 조건과 맞는지 확인합니다. 반지름이 5cm라면 외접원의 지름은 2×5=10cm가 되어 문제에서 주어진 빗변의 길이와 일치합니다. 따라서 10cm를 반지름으로 답했을 때보다 조건에 맞는 결과입니다. 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 빗변의 중점, 지름과 반지름의 관계를 이용해 처음부터 다시 해결하는지도 확인합니다. 혼자 막히면 개념 이해가 부족한지, 10÷2 계산에서 막혔는지에 따라 도움의 정도를 조절합니다.

새 적용 문제로 “직각삼각형의 빗변 길이가 18cm일 때 외접원의 반지름은 얼마인가?”를 제시할 수 있습니다. 이전 문제의 10cm가 18cm로 바뀌었지만, 직각삼각형에서 빗변이 외접원의 지름이라는 조건은 같습니다. 따라서 반지름을 r이라 하면 2r=18이고, r=9이므로 답은 9cm입니다. 추가로 직각변의 길이가 8cm와 15cm이고 빗변이 17cm인 경우에는 어느 변의 절반을 사용할지 확인하게 할 수 있습니다. 외접원의 반지름은 아무 변이나 절반으로 정하는 것이 아니라, 직각삼각형의 빗변인 17cm의 절반인 8.5cm입니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 보지 않고도 바뀐 수치와 조건에 맞춰 이 판단을 다시 세우고, 왜 직각변 8cm의 절반인 4cm를 쓰지 않는지 설명하는지를 확인합니다.