국우동 중등수학과외

학생은 먼저 “AB=AC인 삼각형 ABC에서 B의 외각이 110°이다. 세 내각을 구하라.”라는 문제를 받았다. 꼭짓각이 직접 주어진 경우와 달리 이번에는 밑각과 이웃한 외각이 제시되어 있어, 학생은 외각을 내각으로 바꾸는 판단부터 해야 했다. 학생이 적은 답을 보기 전에 교사는 “외각과 그 옆 내각의 합은 몇 도일까?”라고 물었다. 학생은 180°라고 답했지만, 아직 AB와 AC가 알려 주는 각의 관계까지 연결하지는 못했다.

외각 110°에서 내각 B를 먼저 정하기

학생은 외각 110°와 내각 B가 한 직선 위에서 이웃하므로 ∠B=180°-110°=70°이라고 계산했다. 여기까지는 외각과 이웃한 내각의 관계를 정확히 사용한 것이다. 교사는 곧바로 전체 풀이를 대신하지 않고 “AB의 맞은편 각이 어디인지 말해 볼래?”라고 물었다. 학생은 그림에서 AB와 마주 보는 꼭짓점을 C라고 짚었고, 그제야 AB=AC라는 두 변의 조건을 각의 관계와 연결할 준비를 했다.

이 장면에서 확인한 것은 학생이 외각의 성질을 모르는지가 아니라, 같은 변과 맞은편 각을 짝짓는 과정이 풀이에 드러나는지였다. 한 번의 오답이나 한 줄의 계산만으로 원인을 확정하지 않기 위해, 교사는 학생의 말과 실제로 적은 식을 함께 대조했다. AB=AC이면 맞은편 C와 B가 같다는 설명만 짧게 제시한 뒤, 학생에게 두 변의 맞은편 각을 직접 표시하게 했다.

학생은 표시한 내용을 바탕으로 ∠B=∠C를 적었다. 이어 삼각형의 세 내각 합을 이용해 ∠A=180°-70°-70°=40°라고 완성했다. 따라서 새 조건 문제의 세 내각은 ∠A=40°, ∠B=70°, ∠C=70°이다. 외각 110°를 그대로 삼각형의 내각으로 옮기지 않고, 먼저 이웃한 내각을 구한 점이 풀이에서 달라진 부분이다.

“A=B=40°”라는 답안에서 처음 어긋난 판단

이제 비교할 대표 문제를 제시했다. AB=AC인 삼각형 ABC에서 ∠A=40°일 때 ∠B와 ∠C를 구하는 문제다. 학생의 처음 답은 “A=B=40°이므로 C=100°.”였다. 학생은 세 내각의 합이 180°라는 계산 자체는 사용했지만, 꼭짓각 A를 밑각 B와 같다고 두었다. 교사는 “AB의 맞은편 각이 어디인지?”라고 다시 물었고, 학생은 C라고 답했다. 말로는 위치를 찾았지만 식에서는 A와 B를 같게 놓았다는 차이가 확인되었다.

교사는 AB=AC를 다시 읽게 하면서 “같은 변의 맞은편 각끼리 짝을 지어 보자”라고 한 단계만 시범을 보였다. AB의 맞은편은 C이고 AC의 맞은편은 B이므로, 학생은 두 각을 연결해 밑각 B=C라고 직접 고쳐 썼다. 그다음 꼭짓각 A가 40°이므로 B+C=180°-40°=140°이고, 두 밑각이 같아서 B=C=70°이라고 계산했다. 교사는 이 계산 줄을 학생이 직접 완성하도록 기다렸으며, 설명 뒤의 과정은 학생의 손으로 남겼다.

같은 원리를 다른 방식으로 검산하기

수정한 답은 단순히 같은 계산을 반복해 확인하지 않았다. 먼저 각을 삼각형에 대입해 40°+70°+70°=180°인지 확인했다. 이어 수의 합만 보는 데서 그치지 않고, 같은 변 AB와 AC의 맞은편 각이 각각 C와 B라는 도형 관계를 다시 대조했다. 따라서 밑각 B=C라는 조건과 세 내각의 합이 모두 일치한다. 처음 풀이에서는 A와 B를 연결했지만, 수정 풀이에서는 AB와 AC를 보고 그 맞은편인 C와 B를 연결했다는 점이 핵심이다.

다음 문제에서는 대표 문제와 수정 풀이를 가린 채, 학생이 “AB=AC인 삼각형 ABC에서 B의 외각이 110°”라는 조건만 보고 세 내각을 구하게 한다. 학생은 먼저 외각과 이웃한 내각의 합이 180°임을 이용해 B를 구하고, 이어 같은 변과 맞은편 각을 짝지어 C를 정해야 한다. 마지막으로 A를 계산한 뒤 40°+70°+70°=180°을 확인하고, 왜 B와 C가 같은지 도움 없이 설명하는지를 교사가 확인한다. 막히면 “AB=AC이면 맞은편 C와 B가 같다”는 문장까지만 다시 보여 주고, 다음 식은 학생이 직접 쓰게 한다.