논공 수학과외

“2배다”라는 답에서 놓친 판단

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. 자료 1과 3을 각각 2배 했을 때 분산은 몇 배가 되는지 묻고 있습니다. 분산은 자료 전체의 편차를 제곱한 뒤 그 평균을 구한 값입니다. 이때 “2배다”라고 답했다면 자료값이 2배가 된 사실은 보았지만, 분산을 계산할 때 편차를 제곱한다는 조건까지 연결하지 못했을 가능성이 있습니다.

교사는 먼저 “자료를 2배 하면 평균과 각 자료의 차이는 어떻게 될까요?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면 원래 자료의 평균부터 함께 확인합니다. 자료 1과 3의 평균은 2이고, 각 자료의 편차는 -1과 1입니다. 자료를 2배 한 뒤에는 2와 6이 되며 평균은 4입니다. 따라서 새 편차는 -2와 2가 됩니다. 이 과정을 통해 자료값의 배율이 편차에도 그대로 적용된다는 점을 확인할 수 있습니다.

편차에 배율을 적용하고 제곱하기

이제 학생은 처음 답을 그대로 유지하지 않고, 분산의 정의에 맞춰 식을 다시 세워 봅니다. 원래 편차의 제곱은 1과 1이므로 원분산은 (1+1)÷2=1입니다. 자료를 2배 했을 때의 편차 제곱은 4와 4이고, 새 분산은 (4+4)÷2=4입니다. 따라서 새 분산은 원분산의 4배입니다.

교사는 “2배가 된 것은 편차까지이며, 분산에서는 그 편차를 다시 제곱한다”는 핵심을 짚습니다. 학생은 자료 배율 2를 분산에 바로 곱하는 대신, 편차를 -2와 2로 고친 다음 각각 제곱하여 4를 얻습니다. 처음의 “2배다”라는 판단에서 바뀐 부분은 자료의 배율과 분산의 배율을 같은 것으로 보았던 점입니다. 학생이 막히는 경우에는 편차 하나를 함께 계산하고, 나머지 편차와 평균 계산은 직접 이어 가도록 합니다.

원래 조건에 대입해 검산하기

풀이를 가리고 문제와 조건만 다시 보게 한 뒤, 학생이 처음부터 자료 1과 3, 배율 2, 분산의 정의를 이용해 다시 해결하는지 확인합니다. 원자료의 분산은 1이고, 변환된 자료 2와 6의 평균은 4, 편차는 -2와 2이므로 분산은 4입니다. 원분산과 새 분산을 직접 비교해도 4÷1=4이므로 결과가 일치합니다. 이때 단순히 식을 베껴 쓰는지가 아니라, 왜 새 편차가 2배인지와 왜 제곱 후 4가 되는지를 설명하는지 살펴봅니다.

음의 배율과 다음 적용

새 적용 문제로 모든 자료값을 -2배 했을 때 분산과 표준편차가 각각 몇 배가 되는지 확인할 수 있습니다. 자료 1과 3은 -2와 -6이 되고 평균은 -4입니다. 새 편차는 2와 -2이므로 편차를 제곱한 평균인 분산은 역시 4배입니다. 음수 배율은 편차의 부호를 바꾸지만 제곱하면 부호가 사라지기 때문입니다. 표준편차를 분산의 제곱근으로 보면 표준편차는 2배가 됩니다.

추가로 자료 1과 3을 각각 7배 하는 경우에는 새 자료가 7과 21, 평균이 14, 편차가 -7과 7이므로 분산은 49입니다. 이 문제는 “모든 자료를 n배 하면 분산도 n배”라는 설명이 항상 맞는지 구분하게 합니다. 다음 수업에서는 새 조건의 문제와 풀이를 가린 상태에서 학생이 배율을 편차에 적용하고, 제곱과 평균을 거쳐 분산을 구하는지 확인합니다.