다사읍 수학과외

대표 문제에서 나타난 오답

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 두 집합의 교집합을 구하는 문제에 학생은 {1,2,3,4}라고 적었습니다. 먼저 문제에서 요구한 것은 두 집합에 모두 들어 있는 원소라는 점을 확인해야 합니다. 1은 A에만 있고 4는 B에만 있으므로 교집합에 포함될 수 없습니다.

{1,2,3,4}는 두 집합의 원소를 하나로 모은 합집합에 해당합니다. 합집합에서는 어느 한 집합에 들어 있으면 포함하지만, 교집합에서는 두 조건을 동시에 만족해야 합니다. 따라서 이 문제의 정답은 A와 B에 함께 나타나는 {2,3}입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 오답만 보고 학생의 원인을 단정하지 않고, “1은 두 집합에 모두 들어 있나요?”, “4는 어느 집합에 들어 있나요?”, “문제에서 요구한 것은 하나 이상 만족하는 원소인가요, 두 조건을 모두 만족하는 원소인가요?”라고 묻습니다. 학생이 ‘두 집합에 모두 있는 원소’를 말로 구분하면서도 이 문제에서 {1,2,3,4}라고 썼다면, 개념 전체보다 문제의 조건과 연산 기호를 읽는 과정에서 판단이 바뀌었는지 살펴볼 수 있습니다.

반대로 합집합은 공통 원소를 한 번만 세어 모으는 연산이고 교집합은 공통 원소만 고르는 연산이라는 설명 자체가 어렵다면, 두 연산의 의미를 짧은 원소 목록으로 나누어 확인합니다. 여집합은 전체집합을 기준으로 정하는 개념이므로, 이번 교집합 문제의 답을 구할 때 여집합 조건을 추가해서는 안 됩니다.

교사의 설명과 학생의 수정 풀이

교사는 A의 원소 1, 2, 3을 차례로 살피며 “이 원소가 B에도 있는가?”를 확인하게 합니다. 1은 B에 없으므로 제외하고, 2는 B에도 있으므로 남깁니다. 3도 두 목록에 모두 있으므로 남기며, B에만 있는 4는 A에 없으므로 교집합에서 제외합니다. 학생이 한 단계씩 따라가기 어렵다면 교사가 1의 판단을 먼저 함께 보인 뒤 2, 3, 4의 판단은 학생이 이어서 시도하게 합니다.

학생은 처음 답에서 두 집합의 원소를 모두 모으려 했던 판단을 바꾸어, 각 원소가 두 목록에 동시에 나타나는지를 확인합니다. “1과 4는 한 집합에만 있고, 2와 3은 두 집합에 모두 있으므로 교집합은 {2,3}이다.”라고 문제의 조건과 연결해 설명한 뒤 답을 다시 씁니다. 표시만 남기는 데 그치지 않고, 각 원소를 남기거나 제외한 이유까지 적어야 수정된 풀이가 실제 답으로 이어졌는지 확인할 수 있습니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

검산할 때는 풀이를 그대로 반복하지 않고, 두 목록을 나란히 다시 확인합니다. 2와 3만 A와 B에 동시에 나타나고, 1은 A에만, 4는 B에만 나타납니다. 따라서 {2,3}이라는 결과가 ‘두 집합에 모두 있는 원소’라는 조건을 만족합니다. 이후 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제와 조건만 보고 다시 해결하도록 합니다. 혼자 진행하지 못하면 개념을 더 설명할지, 원소를 대조하는 계산 과정만 함께 볼지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로 “1부터 9까지의 자연수 중 2의 배수이면서 3의 배수인 원소를 구하라.”를 제시할 수 있습니다. 이번에는 집합의 목록이 직접 주어지지 않고, 두 배수 조건을 동시에 만족하는 수를 골라야 한다는 점이 달라졌습니다. 1부터 9까지에서 2의 배수는 2, 4, 6, 8이고 3의 배수는 3, 6, 9이므로 두 조건의 교집합은 {6}입니다. 2나 3처럼 어느 한 조건만 만족하는 수는 제외합니다.

필요하다면 A={1,3}, B={2,4}의 교집합도 비교해 볼 수 있습니다. 두 집합에 함께 들어 있는 원소가 없으므로 교집합은 공집합이고, 네 원소를 모두 모은 {1,2,3,4}는 합집합입니다. 먼저 새 적용 문제를 스스로 해결하는지, 답의 근거를 말할 수 있는지, 이전과 다른 조건에서도 ‘모두 만족’이라는 판단을 유지하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.