논공 고등수학과외

“적분상수는 소거되어 3.” 이렇게 답했다면, 정적분의 끝값을 비교하는 핵심을 붙잡은 것이다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 정답만 확인하지 않고, 그 판단에 이르기 전 어떤 식을 세웠는지 거슬러 살핀다. 주어진 문제는 $\int_1^2 2x\,dx$를 구하는 것이며, 부정적분으로 얻을 수 있는 원시함수는 $F(x)=x^2+C$이다.

오답에서 빠진 판단을 끝점으로 확인하기

이렇게 답했다면 “$x^2+C$이므로 $3+C$”라고 생각한 셈이다. 먼저 $x^2$에 1과 2를 대입한 차가 3이라는 점은 맞지만, 정적분의 계산에서는 한쪽 끝값만 쓰지 않는다. “$F(2)$와 $F(1)$에 같은 $C$가 들어가는가?”라고 묻고, 학생이 직접 두 식을 나란히 적게 한다. $F(2)=4+C$, $F(1)=1+C$이므로 위끝값에서 아래끝값을 빼면 $(4+C)-(1+C)$가 된다. 여기서 $C$는 서로 다른 상수가 아니라 같은 원시함수에 함께 붙은 하나의 적분상수다. 따라서 $3+C$가 아니라 $3$이 남는다.

부정적분과 정적분의 역할을 나누어 쓰기

부정적분은 미분했을 때 주어진 함수가 되는 함수들의 모임이므로 $x^2+C$처럼 상수가 포함될 수 있다. 반면 정적분은 원시함수의 위끝값에서 아래끝값을 뺀 하나의 수로 정해진다. 학생은 설명을 듣는 데서 멈추지 않고, $(4+C)-(1+C)=3$을 직접 정리한 뒤 양변을 미분해 $2x$가 되는지도 확인한다. 원시함수의 선택을 $x^2$로 하든 $x^2+7$로 하든 끝값의 차는 같으므로, 정답이 특정 적분상수에 의존하지 않는다는 사실도 대조할 수 있다. 구간에서 $2x$는 음이 아니고, 이 경우 넓이를 밑변과 높이가 각각 1과 2인 사다리꼴로 계산해도 $\frac{1+2}{2}\times1=3$이므로 부분 검산이 된다.

조건을 남긴 채 표현이 달라진 문제에 다시 적용하기

다음에는 문제, 연속함수 $f(x)=x^2+1$, 구간 $2$부터 $2$까지라는 조건만 남기고 풀이와 정답 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 두 경계값이 같다는 조건을 표시하고, $F(2)-F(2)$로 나타낸다. 같은 개념을 묻지만 함수의 식은 $2x$에서 $x^2+1$로 바뀌었고, 실제로 달라진 조건과 그대로 유지되는 끝값 계산을 구별해야 한다. 두 원시함수 값이 같은 수이므로 결과는 $0$이다. 이는 $f(2)=5$라는 함수의 한 점에서의 값과 다르며, 폭이 0인 구간의 누적량이 0이라는 뜻과도 일치한다. 마지막으로 경계값과 제외 조건부터 표시하고, 새 문제에서 달라진 점을 한 문장으로 쓰게 한다. 적분식을 외워 얻은 식이 의심되면 미분하거나, 초기값이 주어진 경우 그 값에 대입해 확인하며 다음 문제로 넘어간다.