봉산동 수학과외

첫항에서 출발하는 등차수열의 일반항

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 첫항이 4이고 공차가 3인 등차수열 4, 7, 10, …의 n번째 항을 나타내라는 문제입니다. 여기서 n은 1 이상의 정수이고, 구해야 하는 것은 수열의 n번째 항입니다. 처음에는 4+3n이라고 썼습니다. 공차 3을 n과 곱했다는 점에서 규칙을 이용하려 한 과정은 보이지만, 첫항에서 n번째 항까지 공차를 더하는 횟수는 n번이 아니라 n-1번입니다.

첫항은 이미 4로 주어져 있으므로 n=1일 때는 공차를 한 번도 더하지 않아야 합니다. 따라서 일반항은 첫항에 공차를 n-1번 더한 4+3(n-1)입니다. 이를 정리하면 4+3n-3이므로 a_n=3n+1입니다. 예를 들어 n=2이면 두 번째 항은 4+3=7이어야 하고, 이 식에 넣어도 3×2+1=7이 됩니다.

오답이 나온 판단을 함께 구분하는 과정

교사는 처음 답을 보고 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 먼저 “n=1을 식에 넣으면 첫항 4가 나오는가?”, “첫항에서 두 번째 항으로 갈 때 3을 몇 번 더하는가?”라고 묻습니다. 학생이 항 번호 n과 실제로 공차를 더한 횟수 n-1을 말로 구분하는지 확인하면, 문제의 조건을 잘못 읽은 것인지 개념은 알고 있지만 식을 세우는 과정에서 놓친 것인지 살펴볼 수 있습니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못한다면 교사는 첫항 4와 두 번째 항 7을 나란히 놓고, 4에서 7로 갈 때 3을 한 번 더한다는 부분을 함께 확인합니다. 이어 세 번째 항 10은 3을 두 번 더한 값이므로, n번째 항에서는 첫항 뒤에 공차를 n-1번 더한다고 설명합니다. 이때 상수 4는 출발하는 첫항이고, n은 항의 번호이며, 3(n-1)은 실제로 더한 공차의 합이라는 점을 나누어 보여 줍니다.

설명 뒤 학생이 식을 고쳐 다시 풀기

설명을 들은 뒤 학생은 처음의 4+3n에서 n을 그대로 곱한 부분을 바꾸어, 첫항에서 n번째 항까지의 이동 횟수를 n-1로 적습니다. 먼저 4+3(n-1)을 세우고, 괄호를 계산하여 3n+1을 얻습니다. 이 식에서 n=1을 대입하면 3×1+1=4이므로 첫항 조건을 만족하고, n=3을 대입하면 3×3+1=10이므로 세 번째 항도 맞습니다. 단순히 정답을 표시하는 데서 끝내지 않고, “항 번호가 1일 때는 아직 공차를 더하지 않는다”는 이유를 식과 연결해 말하거나 적어 보게 합니다.

다시 풀 때는 앞서 적은 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 시작합니다. 학생이 식을 세우는 단계에서 막히면 교사는 n=1인 경우만 함께 대입해 첫항을 복원하게 하고, n-1을 포함한 일반식 작성과 정리는 학생이 이어서 시도하게 합니다. 다른 방식으로 표현했더라도 첫항 4, 공차 3, 더한 횟수 n-1이라는 조건과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

조건에 대입하는 검산과 새 식에 적용하기

검산은 같은 풀이를 반복하는 것이 아니라 수열의 조건을 다시 대입해 확인합니다. n=1이면 a₁=4+3(1-1)=4이고, n이 1씩 커질 때 식의 값은 3씩 증가합니다. 따라서 이 문제에서는 모든 1 이상의 정수 n에 대해 a_n=4+3(n-1)이라는 표현이 조건과 일치합니다. 이후에는 수정 풀이를 보지 않고 다시 식을 세워 보는지, 왜 n이 아니라 n-1인지 설명할 수 있는지를 확인합니다.

새 적용 문제로 a_n=5n-2에서 첫항과 공차를 구하라고 제시할 수 있습니다. 이 식에서는 n=1을 먼저 대입해야 하므로 첫항은 5-2=3입니다. n이 1 증가할 때 식의 값이 5씩 증가하므로 공차는 5입니다. 상수항 -2를 첫항으로 읽지 않는 것이 앞 문제와 달라진 핵심 확인점입니다. 필요하다면 일반항이 2n+5인 수열의 첫항도 비교해 볼 수 있습니다. n=1을 넣으면 첫항은 7이고, 상수항 5는 첫항이 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 새 식에서 n=1을 대입해 첫항을 복원하고, 항 번호와 공차를 더한 횟수를 구분하는지 확인하며 적용 범위를 넓혀 갑니다.