봉산동 고등수학과외

“x<0에서도 |x|=x인가?” 먼저 이 질문에 답해 본다. x가 양수일 때는 |x|=x이지만, 음수일 때는 |x|=−x이다. 이 구분이 흐려진 상태에서 lim(x→0)|x|/x를 계산하면 절댓값과 x를 약분해 1이라고 쓰기 쉽다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만 보고 개념을 단정하지 않고, 학생이 부호 조건을 실제로 확인했는지부터 살핀다.

약분하기 전에 입력 조건을 나누기

극한은 x=0에서의 함숫값만 보는 것이 아니라, 0에 가까워지는 입력들의 출력이 어떻게 되는지 확인하는 과정이다. 원래 식은 x=0에서는 분모가 0이므로 정의되지 않지만, 극한을 판단할 때는 0이 아닌 가까운 x를 살핀다. 이때 x>0이면 |x|=x이므로 |x|/x=1이다. 반대로 x<0이면 |x|=−x이므로 |x|/x=(−x)/x=−1이다. 약분은 분모가 0이 아닌 범위에서만 이루어지며, 절댓값을 x로 바꾸는 과정도 부호 조건에 맞아야 한다.

학생에게는 “x<0에서도 |x|=x인가?”, “처음 쓴 1이라는 답은 음수 입력에서도 성립하는가?”, “x=0의 함숫값과 x가 0에 가까워질 때의 값을 구분했는가?”라고 묻는다. 이어 x=−0.1, x=0.1 같은 수를 대입해 방향별 값을 부분적으로 확인하게 할 수 있지만, 몇 점의 계산만으로 극한 전체를 결정하지는 않는다. 계산한 식을 원래 식 옆에 다시 적고, 각 줄의 부호 조건을 표시하게 해야 어느 단계에서 식이 바뀌었는지 드러난다.

좌극한과 우극한을 학생의 풀이로 연결하기

조건을 나눈 뒤 학생이 직접 수정해 쓰면 x<0에서 |x|/x=−1이므로 좌극한은 −1이고, x>0에서 |x|/x=1이므로 우극한은 1이라고 정리할 수 있다. 양쪽에서 접근한 값이 서로 다르므로 lim(x→0)|x|/x는 존재하지 않는다. 이는 특정한 몇 점의 계산 결과가 아니라, 0의 왼쪽 구간 전체에서는 −1, 오른쪽 구간 전체에서는 1이라는 식의 불일치에 근거한다. 따라서 답은 ‘극한 없음’이며, x=0에서 식이 정의되지 않는다는 사실과 양쪽 극한이 같지 않다는 판단도 구별해 적는다.

처음의 오답을 고칠 때에는 교사가 완성된 풀이를 대신 써 주기보다, 학생이 부호별 식을 만들고 좌우의 값을 직접 대조하게 한다. 만약 학생이 “x=0에서 계산할 수 없으니 극한도 없다”고 답한다면 함숫값과 극한을 혼동한 것인지, 혹은 좌우에서 다가가는 과정을 생략한 것인지 확인한다. 반대로 1이라는 결론을 유지한다면 음수 조건을 넣어 |x|=−x가 되는지 다시 표시하게 한다.

표현을 바꿔도 조건을 남긴 재적용

설명을 덮은 상태에서 다음 문제를 독립적으로 다시 시작한다. 문제와 x→0−라는 접근 방향만 남겨 두고, 풀이·정답·유도 표시는 가린다. lim(x→0−)|x|/x를 구하라고 했을 때 학생은 먼저 x<0이라는 필수 조건을 적고, |x|=−x이므로 |x|/x=−1이라고 풀이해야 한다. 따라서 정답은 −1이다. 오른쪽에서 접근하면 1이지만, 이번에는 왼쪽에서의 접근만 요구하므로 오른쪽 값을 섞지 않는다.

마지막으로 “x<0에서도 |x|=x인가?”에 대한 답과 새 문제의 풀이가 함께 맞는지 확인한다. 대입만 하고 끝냈다면 가까운 점에서 사용하는 식과 그 점 자체의 함숫값을 따로 적게 한다. 같은 식의 표현만 달라진 것인지, 실제로 접근 방향이라는 조건이 바뀐 것인지 구별하면서, 다음 극한에서도 부호·정의역·접근 방향을 먼저 표시하는 습관으로 이어 간다.