선화동 수학과외

대표 문제에서 드러난 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. y=√(x-3)의 실수 정의역은? 학생이 “x≠3이다.”라고 적었다면, 먼저 답만 보고 원인을 단정하지 않습니다. 이 문제는 x에 어떤 값을 넣었을 때 y가 실수로 정의되는지를 묻습니다. 따라서 식을 변형하기 전에 근호 안의 값을 실제로 계산할 수 있는지 확인해야 합니다. 학생이 x=3을 제외해야 한다고 생각한 이유를 들어 보고, 근호가 있는 식에서 경계값을 어떻게 판단했는지 함께 살핍니다.

이 오답은 단순 계산 실수일 수도 있지만, x=3을 넣으면 근호가 사라지거나 분모가 0이 되는 경우처럼 잘못된 조건을 적용한 것일 수도 있습니다. 교사는 “x=3을 직접 넣으면 근호 안에는 어떤 수가 남을까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면 x-3에 0을 대입하는 단계까지 함께 확인한 뒤, 왜 x=3을 제외해야 하는지 또는 포함해야 하는지를 이어서 판단하게 합니다.

근호 안의 조건을 사용해 다시 풀기

이 문제에서 실수 제곱근이 정의되려면 근호 안의 수가 0 이상이어야 합니다. 그러므로 먼저 x-3≥0을 세웁니다. 여기서 x-3은 근호 안의 값이므로, 이 값이 음수가 되지 않아야 y가 실수가 됩니다. 양변에 3을 더하면 x≥3이고, 이것이 정의역입니다. 처음의 “x≠3”이라는 판단에서 바뀌어야 할 부분은 3을 무조건 제외한 것입니다. 근호에서는 내부가 0인 경우도 √0=0으로 정의되므로, x=3은 제외할 값이 아니라 포함할 값입니다.

교사는 경계값 x=3을 직접 대입해 y=√(3-3)=√0=0이 되는 과정을 보여 줍니다. 그런 다음 나머지 범위에 대해 학생이 다시 풉니다. 학생은 x-3≥0이라는 조건을 적고, 부등식을 풀어 x≥3이라고 결론 내립니다. 답을 베껴 쓰는 데서 끝내지 않고, “근호 안이 음수가 되면 실수 제곱근을 구할 수 없고, 0이면 √0으로 계산할 수 있으므로 x=3을 포함한다”고 문제의 조건과 연결해 설명하는지 확인합니다.

경계값과 범위를 검산하는 방법

이번 검산은 같은 부등식을 반복해서 푸는 방식이 아니라, 정해진 범위의 값을 실제로 대입해 확인하는 방식으로 진행합니다. x=3이면 근호 안이 0이므로 y=0이 되어 식이 실수로 정의됩니다. x=4처럼 3보다 큰 값을 넣으면 x-3=1이므로 y=1이 됩니다. 반대로 x=2처럼 3보다 작은 값을 넣으면 x-3=-1이 되어 실수 범위에서는 √(-1)을 계산할 수 없습니다. 따라서 x≥3이라는 결론은 경계값, 경계보다 큰 값, 경계보다 작은 값을 비교했을 때 문제의 조건과 일치합니다.

풀이 순서를 따라 적는 데 익숙한 경우에는 수정 풀이와 정답을 가리고 문제의 수치와 조건만 보인 상태에서 다시 시작하게 합니다. 학생이 막히면 개념을 이해하지 못한 것인지, 부등식 계산에서 어려움을 겪는 것인지 나누어 봅니다. 필요한 경우 교사가 근호 안의 값을 함께 확인하고, 학생이 그다음 부등식과 결론을 직접 이어서 쓰게 합니다. 다른 방식으로 풀더라도 실수 제곱근의 조건과 계산이 맞다면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 기본 문제와 수가 달라진 새 문제를 적용합니다. f(x)=√(x+5)에서 x=-5를 입력할 수 있는가? 먼저 근호 안에 -5를 대입하면 x+5=0입니다. 따라서 f(-5)=√0=0이므로 x=-5는 입력할 수 있습니다. 일반적으로 이 식에서 실수 정의역은 x+5≥0을 만족하는 x, 즉 x≥-5입니다. 앞의 문제와 마찬가지로 근호 안이 0 이상이어야 하지만, 경계값 자체를 제외하지 않는다는 점이 핵심입니다.

추가 비교가 필요하다면 y=√(x+1)에서 x=-1을 대입할 수 있는지도 확인할 수 있습니다. 이때 근호 안은 0이고 √0=0이므로 대입할 수 있습니다. 다만 “근호 안이 0인 값은 언제나 제외한다”는 설명은 맞지 않습니다. 근호 자체는 내부가 0 이상이면 되지만, 같은 0이라도 분모에 있다면 나눌 수 없으므로 상황을 구별해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 스스로 x+5≥0을 세우고, x=-5를 포함하는 근거를 설명하는지 확인합니다. 숫자가 바뀌어도 근호의 조건을 적용하는지, 경계값을 직접 대입해 판단하는지에 따라 이후 설명과 연습의 방향을 조정합니다.