선화동 고등수학과외

확률과 통계에서 다음과 같이 답했다면, 먼저 오답과 검산 결과를 나란히 놓고 살펴볼 필요가 있다. A와 B가 독립이고 P(A)=0.4, P(B)=0.5일 때 P(A∪B)를 구하는 문제에서 “0.4+0.5=0.9”라고 썼다고 하자. 한편 여사건으로 확인하면 둘 다 일어나지 않을 확률은 0.6×0.5=0.3이므로, 적어도 하나가 일어날 확률은 1−0.3=0.7이다. 두 결과가 다른 이유를 찾는 질문이 풀이의 출발점이 된다.

독립이면 교집합을 빼지 않아도 되는가

“독립이면 교집합을 빼지 않아도 되는가?”라고 묻고, 학생이 먼저 자신의 말로 답하게 한다. 독립은 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻이 아니다. A가 일어나는지 여부가 B의 확률에 영향을 주지 않는다는 의미이며, 식으로는 P(A∩B)=P(A)P(B)로 확인한다. 따라서 이 문제에서는 P(A∩B)=0.4×0.5=0.2이다. 이 값을 구한 뒤 바로 답을 알려 주기보다, 합집합에서 겹치는 경우를 어떻게 처리해야 하는지 다음 줄을 직접 이어 쓰게 한다.

반대로 배반은 A∩B가 공집합이라는 뜻이다. 양의 확률을 가진 두 배반사건은 동시에 일어날 수 없으므로 독립일 수 없다. “독립”이라는 말의 인상만으로 교집합을 0이라고 정하면 안 된다. 학생에게 두 사건이 동시에 가능한 상황인지, A가 일어난 뒤 B의 확률이 그대로인지 차례로 확인하게 하면 독립과 배반을 구별하는 데 도움이 된다.

겹친 경우를 표시해 합집합을 다시 계산하기

합집합은 A 또는 B가 일어나는 경우이므로 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)이다. 앞에서 구한 교집합 0.2를 반영하면 0.4+0.5−0.2=0.7이 된다. 처음의 0.9는 두 사건이 함께 일어나는 0.2를 A의 경우와 B의 경우에 한 번씩 중복해서 센 값이다. 학생이 식에서 바꾼 부분을 직접 표시하게 하면, 단순히 정답을 받아 적는 것보다 오답의 원인을 분명히 확인할 수 있다.

검산은 다른 관점으로 진행한다. A의 여사건 확률은 1−0.4=0.6, B의 여사건 확률은 1−0.5=0.5이다. 독립인 여사건도 독립이므로 둘 다 일어나지 않을 확률은 0.6×0.5=0.3이다. 합집합은 그 반대 사건이므로 1−0.3=0.7이다. 두 계산이 같은 결과를 내는지 학생이 직접 대조하고, 0.9가 실제로는 중복을 제거하지 않은 값임을 설명하게 한다.

조건을 남긴 채 풀이를 가리고 다시 적용하기

이해를 확인할 때는 A와 B가 독립, P(A)=0.4, P(B)=0.5라는 조건과 문제 문장만 남겨 두고 기존 풀이와 정답은 가린다. 같은 문제의 숫자나 표현만 바꾸는 것이 아니라, 이번에는 A는 일어나고 B는 일어나지 않을 확률을 구하게 한다. B의 여사건을 Bᶜ라 하면 P(A∩Bᶜ)=P(A)−P(A∩B)이다. 교집합은 여전히 0.4×0.5=0.2이므로 0.4−0.2=0.2이고, 독립성을 이용해 0.4(1−0.5)=0.2로 계산해도 된다.

학생은 A가 일어나는 경우를 B가 일어나는 경우와 일어나지 않는 경우로 나누어 0.2+0.2=0.4인지 확인한다. 이때 합집합의 확률 0.7과 한 사건만 일어날 확률 0.2를 구별해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답을 기억했는지보다 조건을 식으로 옮겼는지를 확인하고, 독립이라는 말만 보고 판단하지 않도록 교집합 확률과 두 확률의 곱을 실제로 비교하게 한다.