중촌동 수학과외

BC와 DE를 바로 연결한 이유 살펴보기

다음 문제에서 학생이 “BC와 DE를 대응시키므로 EF는 6cm이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 △ABC∽△DEF이고 AB=4cm, DE=6cm, BC=8cm일 때 EF의 길이를 구하는 것입니다. 이때 구해야 하는 값은 EF이며, 먼저 어떤 변끼리 대응하는지 확인해야 합니다. 닮음 기호에 적힌 꼭짓점 순서를 보면 A↔D, B↔E, C↔F이므로 AB와 DE, BC와 EF가 각각 대응합니다.

따라서 BC와 DE를 대응시킨 판단은 닮음 기호의 순서를 충분히 확인하지 않은 데서 나온 것으로 볼 수 있습니다. 다만 오답 하나만으로 개념을 완전히 모른다고 단정하지는 않습니다. 교사는 “B에 대응하는 꼭짓점은 어디인지, C에 대응하는 꼭짓점은 어디인지”, “DE에 대응하는 변은 어느 변인지”를 차례로 묻고, 학생이 꼭짓점 순서를 말로 설명하는지와 실제 문제에 적용하는지를 나누어 확인합니다.

닮음 기호의 순서로 대응변 표시하기

교사는 △ABC∽△DEF에서 글자 순서가 대응 관계를 알려 준다는 점을 짚습니다. AB의 첫 번째와 두 번째 꼭짓점 A, B는 DE의 첫 번째와 두 번째 꼭짓점 D, E에 대응하고, BC의 두 꼭짓점 B, C는 EF의 두 꼭짓점 E, F에 대응합니다. 그래서 대응 관계는 AB↔DE, BC↔EF입니다. 학생이 이 설명을 한 번에 이해하기 어려워하면 교사가 AB와 DE를 먼저 함께 표시한 뒤, 이어서 BC와 EF를 학생이 직접 표시하게 합니다.

이 문제에서 닮음비는 대응하는 길이의 비로 비교합니다. AB에서 DE로 갈 때 길이는 4cm에서 6cm가 되었으므로 확대 비는 6/4=3/2입니다. 같은 닮음 도형에서 대응하는 길이는 같은 비를 가지므로 BC에 3/2를 곱해 EF를 구합니다. 넓이나 부피의 배율을 사용하는 문제가 아니라 길이와 길이를 비교하는 문제라는 점도 함께 구분합니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

이제 처음 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 △ABC∽△DEF의 순서를 따라 A↔D, B↔E, C↔F를 적고, AB↔DE와 BC↔EF를 표시합니다. 그런 다음 4:6=8:EF를 세웁니다. 여기서 4와 6은 대응하는 AB와 DE의 길이이고, 8과 EF는 대응하는 BC와 EF의 길이입니다.

비례식에서 4EF=6×8=48이므로 EF=12cm입니다. 학생은 처음의 6cm라는 결론을 그대로 고치는 데 그치지 않고, “BC는 DE가 아니라 EF와 대응하므로 AB와 DE의 비율을 이용해 EF를 구했다.”라고 문제의 조건과 연결해 설명합니다. 계산에서 막히면 교사는 4와 6이 어느 변의 길이인지 다시 짚어 주고, 학생이 이어서 양변을 4로 나누어 답을 완성하도록 돕습니다. 다른 형태의 비례식으로 풀더라도 대응변과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정합니다.

비율을 대입해 확인하고 새 조건에 적용하기

검산할 때는 같은 풀이를 단순히 반복하지 않고 대응변의 비율을 확인합니다. 4/6=2/3이고 8/12=2/3이므로 AB와 DE의 비율, BC와 EF의 비율이 일치합니다. 원래 조건에 맞게 두 쌍의 대응변이 같은 비율을 가지므로 EF=12cm라는 답을 확인할 수 있습니다. 이후 학생이 수정 풀이를 가리고 문제를 다시 해결하는지, 답을 구한 근거를 설명하는지 살핍니다.

새 문제로 △ABC∽△PQR이고 AB=6, PQ=9, BC=8일 때 QR을 구하게 합니다. 이번에는 B↔Q, C↔R이므로 BC↔QR입니다. 대응하는 AB와 PQ의 비가 6:9=2:3이므로 8:QR=2:3, 따라서 QR=12입니다. 도형의 이름과 수치는 바뀌었지만 꼭짓점 순서로 대응변을 찾는 방법은 적용할 수 있습니다.

필요하다면 길이의 배율과 넓이의 배율이 다르다는 점도 비교합니다. 한 변이 1cm인 정사각형을 한 변이 6cm인 정사각형으로 확대하면 길이의 배율은 6이지만 넓이는 1cm²에서 36cm²가 되어 36배입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 적용 문제를 스스로 해결하고, 길이와 넓이의 배율을 구분해 근거를 설명하는지를 확인합니다.