연산동 수학과외

“모든 실수”라고 답한 이유부터 살펴보기

다음 문제에서 학생이 y=1/(x−2)의 실수 정의역은 모든 실수다라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제에서 구하는 것은 y의 값 하나가 아니라, 식에 x로 대입할 수 있는 실수의 범위입니다. 따라서 먼저 분수식의 값을 계산할 수 있는지 확인해야 합니다. 이 식에서는 분모가 x−2이므로, 분모가 0이 되는 입력을 찾아야 합니다. x=2를 대입하면 분모가 0이 되어 1/0이 되므로 식의 값을 정할 수 없습니다. 따라서 x=2는 정의역에서 제외되고, 정의역은 2를 제외한 모든 실수입니다.

처음 답이 틀렸다는 사실만으로 계산 실수인지 개념 오해인지 바로 단정하지는 않습니다. 교사는 “모든 실수를 넣을 수 있다고 생각한 이유가 무엇인지”, “x=2를 직접 대입하면 분수식이 어떻게 되는지”를 차례로 묻습니다. 학생이 식의 뜻을 말로 설명하기 어렵다면, 우선 분모에 어떤 수가 들어가야 나눗셈을 할 수 있는지 함께 확인한 뒤 대표 문제의 판단을 다시 이어 가게 합니다.

분모가 0이 되는 입력을 제외하는 과정

교사는 풀이 전체를 대신 써 주기보다 대표 문제에서 필요한 조건을 한 단계씩 짚습니다. y=1/(x−2)에서 x−2는 나누는 수인 분모이므로 0이 될 수 없습니다. 그래서 먼저 x−2=0을 세우고, 이를 풀어 x=2를 얻습니다. 이 값은 식의 결과가 아니라 대입할 수 없는 제외값입니다. 그 뒤 “x=2만 빼면 나머지 실수는 식에 넣을 수 있는가?”를 확인합니다. 이 문제에는 다른 제한 조건이 제시되지 않았으므로, 실수 범위에서 x=2를 제외한 모든 실수가 정의역입니다.

학생이 처음에는 분모 조건을 확인하지 않고 “문자가 들어 있는 식이므로 모든 실수를 넣을 수 있다”고 판단했다면, 교사는 먼저 x=2를 대신 대입해 보입니다. 학생은 1/(2−2)=1/0이 되어 계산할 수 없다는 점을 확인한 다음, 처음의 “모든 실수”라는 결론에서 x=2를 제외하도록 식과 답을 고칩니다. 단순히 제외값에 표시만 하는 데 그치지 않고, “x=2에서는 분모가 0이 되므로 식의 값이 정의되지 않는다”라고 문제의 조건과 연결해 설명하게 합니다.

수정한 풀이를 가리고 다시 확인하기

수정 풀이를 본 뒤에는 식과 정답을 잠시 가리고, 문제의 조건만 보면서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 분모 x−2를 찾고, 분모가 0이 되는 조건 x−2=0을 세운 뒤 x=2를 구합니다. 이어서 이 값은 정의역에 포함되지 않는다고 판단하고, “x=2를 제외한 모든 실수”라고 답합니다. 학생이 중간에 막히면 교사는 분모를 다시 가리켜 주거나 x=2를 한 번 대입해 보는 정도로 도움을 조절합니다. 계산 과정이 아니라 식의 값이 존재하는 조건을 놓친 것인지, 또는 x−2=0을 푸는 과정에서 막힌 것인지에 따라 다음 도움을 달리할 수 있습니다.

검산은 같은 풀이를 반복하는 대신 제외한 값이 실제로 문제가 되는지 확인하는 데 사용합니다. x=2를 원래 식에 대입하면 분모가 0입니다. 이를 식의 형태로 보면 (x−2)y=1에 x=2를 넣었을 때 0×y=1이 됩니다. 어떤 실수 y를 곱해도 0×y는 1이 될 수 없으므로, x=2에서는 조건을 만족하는 y가 없습니다. 이 확인을 통해 x=2를 제외한 이유가 단순한 계산 규칙이 아니라 식의 값이 존재하지 않기 때문임을 분명히 할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 문제로 f(x)=2/(x+4)의 정의역에서 빼야 할 값은 무엇인가?를 제시할 수 있습니다. 이번에는 분모가 x+4로 바뀌었으므로, 먼저 x+4=0을 풀어 x=−4를 찾습니다. 분자 2가 0이 되는 것이 아니라 분모가 0이 되는지를 확인하는 문제이므로, 제외할 값은 x=−4입니다. 따라서 정의역은 −4를 제외한 모든 실수입니다. 앞 문제의 수치와 식은 달라졌지만, 분모가 0이 되지 않아야 한다는 판단은 이 문제에도 적용할 수 있습니다.

추가로 y=1/(x+2)에서 x=−2의 값을 구할 수 있는지 물어보면 같은 결론을 다른 방식으로 확인할 수 있습니다. x=−2에서는 분모가 0이 되고, 식은 1/0이 되므로 실수값을 정할 수 없습니다. 다만 이 여러 문제를 실제 한 학생이 모두 풀었다고 가정하지는 않습니다. 다음 수업에서는 먼저 새 적용 문제의 수치와 정답을 가린 상태에서 학생이 분모가 0이 되는 값을 스스로 찾는지 확인하고, 그 값을 제외해야 하는 이유를 말과 식으로 설명하는지 살펴보는 방향으로 이어 갑니다.