연산동 고등수학과외

경계값 0을 먼저 확인하는 등차수열 문제

등차수열 $a_n=9-3(n-1)$, $n\ge1$일 때 0 이상인 항의 개수를 구한다고 하자. 항을 직접 써 보면 $9, 6, 3, 0, -3,\dots$이므로 경계에 있는 0이 실제로 포함되는지가 핵심이다. ‘0 이상’은 0보다 크거나 같은 값을 뜻하므로 0인 항도 세어야 한다. 그런데 이렇게 답했다면, 즉 “0인 항은 세지 않아 3개”라고 했다면 결과만 고치기보다 어떤 조건을 다르게 읽었는지 확인해야 한다.

먼저 “0 이상에 0인 항이 포함되는가?”라고 묻고, 학생이 부등호의 의미를 직접 말하게 한다. 이어 $n-1$을 $n$으로 바꾸어 일반항을 잘못 정리했는지, 또는 양수 조건과 0 이상 조건을 혼동했는지 나누어 확인한다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 식과 항을 각각 표시하게 하면서 어느 단계에서 판단이 달라졌는지 대조한다.

부등호를 세운 뒤 양의 정수 번호만 세기

0 이상인 항을 찾으려면 $a_n\ge0$으로 두어야 한다. 주어진 식은 $a_n=9-3(n-1)=12-3n$이므로 $12-3n\ge0$, 따라서 $n\le4$이다. 여기서 $n$은 항의 번호이므로 양의 정수라는 조건도 함께 적용한다. $n=1,2,3,4$를 직접 대입하면 각각 $9,6,3,0$이 되어 네 항이 허용되고, 다음 항 $n=5$에서는 $-3$이 되어 제외된다.

교사는 $a_n=12-3n\ge0$이라는 식과 ‘양수인 항’에 사용하는 $a_n>0$을 나란히 비교하게 한다. 학생은 부등호가 왜 달라지는지, 계산 결과와 주어진 조건이 각각 무엇을 뜻하는지 구분해 적는다. 그 뒤 교사가 제시한 첫 단계를 가리고, “0을 포함하려면 어떤 부등호를 세워야 하는가?”와 “번호의 범위는 왜 양의 정수인가?”를 자신의 말과 식으로 다시 작성한다.

조건을 바꾼 문제에 풀이를 다시 적용하기

같은 표현을 반복하는 대신 조건이 실제로 바뀐 문제를 풀어 보자. $a_n=10-3(n-1)$, $n\ge1$일 때 양수인 항의 개수를 구한다. 일반항을 $a_n=13-3n$으로 정리하고, 이번에는 0을 포함하지 않으므로 $13-3n>0$을 세운다. 따라서 $n<13/3$이고, 양의 정수 번호는 $n=1,2,3,4$이다. 항을 직접 확인하면 $10,7,4,1,-2,\dots$이므로 네 번째까지 양수이고 다섯 번째는 음수다.

재적용은 문제와 $n\ge1$이라는 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 양수와 0 이상의 차이를 적은 뒤 식을 세우고, 번호를 직접 대입해 경계를 검산한다. 일반항이 헷갈리면 첫 세 항을 써서 시작 번호와 공차에 따른 변화 횟수를 맞춘다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업 수업에서 조건, 부등호, 번호의 범위를 차례로 스스로 점검하면, 비슷해 보이는 문제에서도 0을 빠뜨리지 않고 바뀐 조건까지 정확히 처리할 수 있다.