인천운남동 수학과외

대표 문제에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 자료 1, 1, 2, 2, 3의 최빈값을 모두 구하라는 질문에 “1만 고른다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 먼저 자료를 작은 수부터 정렬하면 이미 1, 1, 2, 2, 3의 순서입니다. 최빈값은 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 평균이나 가운데 위치의 중앙값이 아니라, 자료에서 가장 많이 반복된 값을 뜻합니다. 이 자료에서는 1이 두 번, 2도 두 번, 3은 한 번 나타납니다. 따라서 가장 큰 도수는 2이고, 그 도수를 가진 값을 모두 찾아야 하므로 최빈값은 1과 2입니다.

“1만 고른다.”는 답은 1의 반복 횟수를 세지 못해서라기보다, 최대 빈도를 가진 값이 여러 개일 때 하나만 선택해도 된다고 판단했을 가능성이 있습니다. 다만 이 한 답만 보고 원인을 단정하지는 않습니다. 교사는 먼저 “평균은 어떤 계산으로 구하고, 중앙값은 자료에서 어느 위치를 보는가? 최빈값은 무엇을 세는가?”라고 묻습니다. 학생이 평균이나 중앙값의 뜻은 설명하지만 이 문제에서만 답을 틀린다면, 개념 전체보다 최빈값의 조건을 끝까지 적용하는 과정에서 판단이 달라졌는지 살펴봅니다.

반복 횟수를 비교하는 풀이

교사는 자료의 각 값이 몇 번씩 나오는지 함께 확인합니다. 1은 두 번, 2는 두 번, 3은 한 번입니다. 여기서 “가장 많이 나온 값”이라는 조건을 다시 짚고, 가장 큰 반복 횟수가 2라는 것을 확인합니다. 그다음 반복 횟수가 2인 값을 하나만 찾는 것이 아니라 1과 2 모두 골라야 합니다. 학생이 이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사가 1의 도수와 2의 도수를 먼저 세어 보인 뒤, “두 값의 도수가 같으면 어느 하나를 버릴 근거가 있을까?”라고 이어서 질문합니다.

학생은 처음의 답에서 1만 남겼던 판단을 바꾸어, 1과 2가 각각 두 번이라는 점을 문제의 조건과 연결합니다. “최빈값은 가장 많이 반복된 값이고, 가장 큰 도수가 같은 값이 두 개이므로 둘 다 써야 한다.”라고 정리한 뒤, 답을 1과 2로 고칩니다. 이때 정렬된 순서의 가운데 값인 2를 고르는 중앙값 풀이와, 전체 합을 5로 나누는 평균 풀이를 최빈값 풀이와 섞지 않는지도 함께 확인합니다.

조건에 대입해 확인하기

수정한 답은 각 값의 도수를 다시 비교해 확인할 수 있습니다. 1의 도수는 2, 2의 도수는 2, 3의 도수는 1이므로 3은 가장 많이 반복된 값이 아닙니다. 1과 2의 도수가 서로 같고 다른 값보다 크기 때문에 공동 최빈값이라는 결론이 원래 자료와 일치합니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 답을 가린 상태에서 학생이 같은 문제를 처음부터 다시 해결하게 합니다. 혼자 다시 풀지 못한다면 최빈값의 정의가 필요한지, 반복 횟수를 세는 계산에서 막혔는지 구분해 다음 도움의 정도를 조절합니다. 다른 방식으로 도수를 정확히 비교했다면 풀이의 표현이 달라도 인정할 수 있습니다.

새 자료에 적용하고 다음을 확인하기

이제 기본 문제의 정답과 해설을 가리고, 새 자료 1, 1, 3, 3, 5에서 최빈값을 모두 구하게 합니다. 바뀐 것은 자료의 값뿐이며, 여러 값의 반복 횟수를 비교한다는 방법은 그대로 적용할 수 있습니다. 1은 두 번, 3은 두 번, 5는 한 번이므로 최빈값은 1과 3입니다. 하나만 고를 수 없는 이유도 두 값의 도수가 모두 가장 크기 때문입니다.

필요할 때는 자료 2, 2, 5, 5, 8을 추가로 제시해 최빈값이 모든 자료에서 반드시 하나인지 확인할 수 있습니다. 이 자료에서도 2와 5가 각각 두 번 나타나 공동 최빈값이므로, 최빈값이 언제나 하나라고 일반화할 수는 없습니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제를 스스로 해결하는지, 답을 적는 데서 그치지 않고 가장 큰 도수를 근거로 두 값을 모두 선택하는지, 그리고 이전 풀이와 답을 보지 않은 상태에서도 같은 판단을 다시 구성하는지를 확인합니다.