중산동 수학과외

둘레를 넓이비로 계산한 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 두 닮은 도형의 작은 둘레가 12cm이고 큰 둘레가 20cm일 때, 두 도형의 길이비를 구하는 문제입니다. 학생은 “넓이비이므로 9:25다.”라고 답했습니다. 이 답은 3:5를 제곱한 값이므로 넓이의 비를 구할 때에는 사용할 수 있지만, 문제에서 주어진 것은 넓이가 아니라 둘레입니다. 따라서 요구한 길이비의 답으로는 맞지 않습니다.

교사는 먼저 “12cm와 20cm는 각각 무엇을 나타내고, 문제에서 최종적으로 무엇의 비를 구하라고 했을까?”라고 묻습니다. 둘레는 각 변의 길이를 더한 값이고 길이 단위를 사용한다는 점을 확인합니다. 반면 9:25는 길이비 3:5를 제곱한 넓이비에 해당합니다. 학생이 넓이비와 길이비의 차이는 설명하지만 식을 잘못 세웠다면, 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고 처음 식을 세운 단계에서 어떤 조건을 읽었는지 다시 살핍니다.

닮음비가 적용되는 범위 확인하기

닮은 도형에서는 대응하는 모든 변의 길이가 같은 배율로 바뀝니다. 작은 도형에서 큰 도형으로 갈 때 대응변의 배율이 20÷12=5/3이라면, 각 변도 5/3배가 됩니다. 둘레는 대응변들을 더한 값이므로 모든 변이 같은 5/3배가 될 때 둘레 역시 5/3배가 됩니다. 이 조건에서 둘레의 비는 길이의 비와 같아집니다.

교사는 필요한 부분을 짧게 함께 풀어 보인 뒤, 학생에게 “그렇다면 12와 20을 이용해 길이비를 어떻게 간단히 나타낼 수 있을까?”라고 다시 시도하게 합니다. 학생은 넓이비를 구하기 위해 제곱했던 판단을 바꾸고, 둘레의 비를 12:20으로 세웁니다. 두 수를 4로 나누어 3:5로 정리하면서, 12와 20은 넓이가 아니라 각 도형의 둘레를 나타내므로 제곱하지 않는다고 문제 조건과 연결해 설명합니다. 따라서 이 문제의 길이비는 3:5입니다.

수정 풀이를 가리고 조건으로 검산하기

풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 다시 시작하도록 하면, 먼저 작은 도형에서 큰 도형으로의 배율을 5/3으로 구하는지 확인할 수 있습니다. 대응하는 각 변을 5/3배 하면 그 변들을 모두 더한 둘레도 5/3배가 됩니다. 실제로 12×5/3=20이므로 작은 둘레에 배율을 적용했을 때 큰 둘레 20cm가 나옵니다. 이 검산은 9:25를 다시 계산하는 것이 아니라, 구한 길이의 배율이 원래 둘레 조건과 맞는지 확인하는 과정입니다.

학생이 다시 풀 때 막히면 교사는 닮음비가 길이·넓이·부피에 같은 방식으로 적용되지 않는다는 점을 다시 설명하거나, 12:20을 먼저 세우는 단계까지만 함께 진행합니다. 이후 약분과 최종 답은 학생이 이어서 해결하게 합니다. 확인할 내용은 표시가 남았는지가 아니라, 수정 풀이를 보지 않고도 둘레라는 조건을 근거로 길이비를 세우고 3:5를 설명할 수 있는지입니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제로 닮은 다각형의 길이비가 2:7이고 작은 도형의 둘레가 18cm일 때 큰 도형의 둘레를 구해 보겠습니다. 앞 문제와 달리 둘레 하나와 길이비가 주어졌지만, 닮은 다각형의 모든 대응변에 같은 배율이 적용된다는 조건은 같습니다. 작은 도형에서 큰 도형으로의 배율은 7/2이므로 큰 둘레는 18×7/2=63cm입니다. 학생이 2:7을 넓이비처럼 제곱하지 않고, 둘레에 길이 배율을 곱해 63cm를 구하는지 확인합니다.

필요하다면 한 변이 1cm인 정사각형을 한 변이 9cm인 정사각형으로 확대했을 때 넓이의 배율을 비교할 수 있습니다. 길이는 9배지만 넓이는 1cm²에서 81cm²로 바뀌므로 81배입니다. 이 비교는 대응변이 n배일 때 넓이도 n배라는 설명이 항상 맞는 것은 아님을 구분하는 자료입니다. 다음 수업에서는 새 적용 문제를 먼저 가리고 풀게 한 뒤, 학생이 둘레와 넓이에서 배율을 다르게 적용하는 이유를 조건과 함께 설명하는지 살펴볼 수 있습니다.