주례동 수학과외

대표 문제에서 k=3이 된 이유 살펴보기

다음 문제에서 학생이 “k=3이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 직선 위의 두 점 (2, 5), (6, k)의 기울기가 1/2일 때 k를 구하는 문제입니다. 구해야 하는 것은 두 번째 점의 세로 좌표 k이며, 두 점의 가로 좌표 차는 6-2=4입니다.

기울기는 좌표값 하나를 나누는 것이 아니라, 두 점 사이의 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값입니다. 따라서 세로 변화량은 k-5, 가로 변화량은 6-2=4이므로 기울기 조건은 (k-5)/4=1/2가 됩니다. k=3을 먼저 대입하면 (3-5)/4=-2/4=-1/2가 되어 주어진 기울기 1/2와 일치하지 않습니다. 답이 틀렸다는 사실은 확인할 수 있지만, 이 한 번의 오답만으로 계산 실수인지 조건 해석의 어려움인지 바로 단정할 수는 없습니다.

좌표값이 아니라 같은 방향의 차를 확인하기

교사는 학생에게 “5와 k 중 어느 값이 처음 점의 세로 좌표이고, 두 점 사이에서 세로로 얼마나 변했는지 어떻게 나타낼 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면 교사가 가로 방향으로는 2에서 6으로 이동하므로 4만큼 증가했다고 먼저 보여 줍니다. 기울기가 1/2라는 것은 이 가로 변화 4에 대응하는 세로 변화가 2라는 뜻입니다.

이때 중요한 것은 두 차를 같은 방향으로 쓰는 것입니다. 두 번째 점에서 첫 번째 점으로 비교하면 세로 변화는 k-5, 가로 변화는 6-2가 됩니다. 순서를 반대로 쓰려면 5-k와 2-6을 함께 사용해야 하며, 한쪽만 방향을 바꾸면 부호가 달라집니다. 학생은 처음의 k=3이라는 판단에서 벗어나, 주어진 기울기와 가로 변화로 세로 변화를 구한 뒤 미지 좌표를 복원하는 방법을 다시 적용합니다.

학생이 수정 풀이를 끝까지 다시 구성하기

학생은 먼저 가로 변화량을 6-2=4로 구합니다. 기울기 1/2는 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이므로, 세로 변화량은 4×1/2=2입니다. 첫 번째 점의 세로 좌표가 5이고 두 번째 점으로 갈 때 2만큼 증가해야 하므로 k=5+2=7입니다. 같은 내용을 식으로 쓰면 (k-5)/4=1/2이고, 양변에 4를 곱해 k-5=2, 따라서 k=7입니다.

이 과정에서 학생이 바꾼 판단은 5와 k를 단순히 비교하거나 좌표값을 바로 나누는 것이 아니라, 두 점 사이의 변화량을 사용한 점입니다. 교사는 필요한 식의 한 부분을 함께 세운 뒤, 학생이 4×1/2=2를 계산하고 5에 더해 k=7을 얻도록 이어서 시도하게 합니다. 풀이 순서를 따라 적은 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 두 점과 기울기 조건만 보면서 같은 문제를 다시 해결해 보게 합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

k=7을 원래 조건에 대입하면 두 점은 (2, 5), (6, 7)이 됩니다. 세로 증가는 7-5=2, 가로 증가는 6-2=4이므로 기울기는 2/4=1/2입니다. 원래 기울기 조건과 일치하므로 정답을 확인할 수 있습니다. 학생이 다시 풀 때 막힌다면 개념을 이해하지 못한 것인지, 변화량 계산에서 어려움을 겪은 것인지 나누어 보고 도움의 정도를 조절합니다.

이전 문제와 다른 새 문제로 (1, 4), (5, b)를 지나는 직선의 기울기가 -1일 때 b를 구해 보겠습니다. 가로 변화량은 5-1=4이고, 기울기가 -1이므로 세로 변화량은 -4입니다. 따라서 (b-4)/4=-1, b-4=-4이므로 b=0입니다. (1, 4)에서 (5, 0)으로 갈 때 세로로 4만큼 감소하고 가로로 4만큼 증가하므로 기울기가 -1이 되는지 확인할 수 있습니다.

추가로 점 (1, 11), (2, 21)을 지나는 직선에서는 기울기가 (21-11)/(2-1)=10입니다. 첫 점의 y/x=11과 다르므로, 기울기를 좌표값의 비가 아니라 두 점의 변화량의 비로 구해야 한다는 점을 한 번 더 구분할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이를 가린 상태에서 새 조건의 문제를 다시 풀고, 왜 세로 변화량과 가로 변화량을 사용했는지 설명하는지를 확인합니다.