개신동 중등수학과외

“중심각=180−90−90−50=−50°.” 학생이 적어 온 가상 답안을 보며 수업을 시작했다. 개신동중등수학과외 수업에서는 답의 부호만 보고 원인을 단정하지 않고, 문제에서 실제로 사용한 도형과 식이 서로 맞는지 먼저 확인한다. 원 밖의 점 P에서 원에 그은 두 접선 PA, PB의 접점이 각각 A, B이고, 원의 중심이 O이다. 주어진 외부 각은 ∠APB=50°이며, 구해야 하는 것은 작은 중심각 ∠AOB이다.

−50°가 나온 식에서 꼭짓점 수 확인하기

학생은 접선과 반지름이 만나는 점에서 생기는 각이 직각이라는 사실은 사용했다. 즉, OA⊥PA, OB⊥PB라는 조건을 알고 90°와 90°를 식에 넣었다는 점은 맞게 처리했다. 그러나 180°에서 세 각을 빼는 순간 도형의 내각 합을 잘못 선택했다. 교사는 곧바로 풀이를 대신 고치지 않고 “각을 더한 도형의 꼭짓점은 몇 개인가?”라고 물었다.

학생은 처음에 중심 O와 외부 점 P만 중심으로 생각해 삼각형처럼 계산했다고 설명했다. 교사는 문제 그림에서 O, A, P, B를 차례로 손가락으로 짚게 했다. 네 점이 연결되어 사각형 OAPB를 이루는지 말로 확인한 뒤, 학생이 말한 도형과 실제로 적은 계산이 같은지 대조했다. 설명은 사각형이라고 하면서 식에는 삼각형의 내각 합 180°를 썼다면, 개념 전체를 모른다고 결론 내리지 않고 도형을 옮겨 쓰는 과정까지 따로 살핀다.

사각형 OAPB의 내각 합으로 다시 쓰기

필요한 도움은 한 단계로 제한했다. 교사는 “O, A, P, B가 이루는 사각형의 내각 합은 360°야”라고 알려 주고, 두 접점에서 생기는 직각을 다시 표시했다. 그다음 학생이 사용한 도형의 꼭짓점 수와 내각 합을 맞추어 직접 식을 고쳐 쓰게 했다.

학생은 먼저 OA⊥PA, OB⊥PB를 적고, 사각형 OAPB에서 이미 알고 있는 세 내각을 정리했다. P에서의 각은 50°, A와 B에서의 각은 각각 90°이므로 다음과 같이 재작성했다.

∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°

처음 풀이와 달라진 부분은 빼기의 계산 기술이 아니라, 사용한 도형에 맞는 내각 합을 선택한 것이다. 학생은 “네 꼭짓점인 사각형이므로 360°에서 세 각을 뺀다”고 식의 근거를 말한 뒤 최종 답을 ∠AOB=130°라고 적었다.

계산을 반복하지 않는 검산과 방향 바꾸기

검산은 같은 식을 다시 계산하는 방식으로 진행하지 않았다. 중심각 130°와 외부 각 50°를 더해 130°+50°=180°이 되는지 먼저 확인했다. 이어 접점 A와 B에서의 두 직각 90°+90°를 더하면 180°이고, 여기에 두 각 130°와 50°를 합치면 사각형의 내각 합인 360°가 된다. 따라서 수정한 답은 원래 조건과도 맞는다.

적용 문제에서는 구하는 방향을 바꾼다. 이번에는 원 밖의 점 P에서 그은 접선 PA, PB의 접점이 A, B이고 작은 중심각 ∠AOB=130°일 때 외부 각 ∠APB를 구한다. 접점에서 두 반지름과 접선이 각각 직각을 이루므로 학생은 사각형의 네 내각을 이용해 ∠APB=360°−90°−90°−130°=50°라고 계산한다. 마지막으로 130°+50°=180°인지, 두 직각을 합친 값과 함께 360°를 이루는지 대조한다.

다음 수업에서는 대표 문제의 자료만 다시 제시하고 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생이 풀이를 시작할 때 O, A, P, B라는 네 꼭짓점을 먼저 표시하고 사각형의 내각 합 360°를 선택하는지 확인한다. 계산을 마친 뒤에는 130°와 50°의 관계 및 두 직각을 이용한 사각형 내각 합을 스스로 설명하게 하며, 교사는 그 설명과 식의 근거가 일치하는지를 관찰한다.