사창동 중등수학과외

“7/10을 소수로 쓰면 뒤의 7이 계속될까?”

수업은 대표 문제의 조건과 학생이 적은 답을 나란히 놓는 장면에서 시작한다. 문제는 x=0.777…이고, 7이 끝없이 반복될 때 x를 기약분수로 나타내는 것이다. 학생은 첫 자리의 7만 보고 “0.777…=7/10”이라고 적었다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “7/10을 소수로 쓰면 뒤의 7이 계속되나요?”라고 묻는다. 학생이 7/10=0.7이라고 적는다면, 문제의 0.777…와 같은 표현인지 두 수를 직접 비교하게 한다.

이때 학생이 소수 첫 자리까지 읽고 7/10을 선택한 점은 먼저 인정한다. 처음 달라진 판단은 반복되는 모든 자리를 고려하지 않고 첫 자리만 남긴 데 있다. 다만 이 한 번의 오답만으로 반복소수를 모른다고 단정하지 않는다. 학생이 7/10을 소수로 바꾸는 계산을 어떻게 설명하는지, 그리고 0.7 뒤에 7이 계속 이어지는지 스스로 말하는지를 함께 확인한다. 0.7은 유한소수라서 소수점 아래 한 자리에서 끝나지만, 0.777…는 모든 자리에서 7이 이어지는 무한소수라는 차이를 학생의 말과 계산 줄에서 구분한다.

첫 자리만 남긴 답에서 반복되는 꼬리 찾기

교사는 반복되는 부분을 식으로 옮기는 한 단계만 시범으로 보인다. “반복되는 7이 한 칸 왼쪽으로 밀리려면 x에 몇을 곱할까요?”라고 묻고, 학생이 10을 선택하도록 기다린다. 교사는 10x=7.777…을 적은 뒤, 원래 식 x=0.777…과 나란히 놓는다. 두 식을 빼면 소수점 아래의 반복되는 꼬리가 사라진다는 점까지만 설명하고, 뺄셈과 분수 정리는 학생이 직접 이어 가게 한다.

학생은 수정 풀이에 “10x=7.777…, x=0.777…이므로 9x=7”이라고 적는다. 양변을 9로 나누어 x=7/9를 얻는다. 처음 풀이에서는 0.7이라는 유한한 한 자리 소수와 0.777…라는 끝없는 반복을 같은 것으로 보았지만, 수정 풀이에서는 반복되는 한 자리를 한 칸 이동시킨 뒤 두 식의 차를 이용했다. 교사는 학생에게 “왜 10x에서 x를 빼면 반복 부분이 없어지나요?”라고 다시 묻고, 학생이 같은 숫자가 같은 위치에 놓인다는 근거를 말하는지 확인한다.

나눗셈으로 확인하고 두 자리 순환으로 넓히기

계산을 그대로 되풀이하지 않는 검산으로는 분수를 다시 나눠 본다. 7÷9에서 7에 9가 들어가지 않으므로 몫의 첫 자리에 0을 쓰고, 70을 만들면 7이 한 번 들어가 나머지 7이 남는다. 이 나머지가 다음 자리에서도 다시 7을 만들기 때문에 같은 과정이 반복되어 7/9=0.777…가 된다. 처음 문제의 무한 반복 조건과 수정한 분수가 실제로 일치하는지 확인하는 근거다. 이처럼 사창동중등수학과외 수업에서는 정답만 맞추는 대신, 유한소수인지 반복소수인지 조건을 먼저 읽고 그 판단을 식과 나눗셈으로 연결한다.

이제 순환마디의 길이를 한 자리에서 두 자리로 바꾼 적용 문제를 제시한다. 0.272727…에서 27이 끝없이 반복될 때 기약분수로 나타내는 문제다. 학생이 x=0.272727…로 놓고, 이번에는 반복되는 두 자리가 같은 위치로 돌아오도록 10이 아니라 100을 선택하는지 본다. 그러면 100x=27.272727…이고, 원래 식을 빼서 100x−x=27, 즉 99x=27이 된다. 따라서 x=27/99=3/11이다. 3을 11로 나누면 0.272727…가 되어 두 자리 순환이 복원된다.

다음 확인에서는 대표 문제의 조건만 남기고 학생의 기존 오답과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 0.7은 유한소수이고 0.777…는 모든 자리에서 7이 이어진다고 말한 뒤, 10x−x를 직접 쓰는지 관찰한다. 막히면 그 문장까지만 다시 보여 주고 다음 계산은 맡긴다. 이어서 0.272727… 문제에서는 반복마디가 두 자리라는 조건을 표시하고 100배를 선택하는 이유까지 도움 없이 설명하게 한다. 교사는 같은 계산을 반복한 것이 아니라, 반복 자리의 길이에 맞는 배수와 나머지의 반복을 근거로 답을 확인했는지 기록한다.