개운동 중등수학과외

학생은 문제지에 적힌 “21/60을 기약분수로 나타내고 유한소수인지 판단하여 소수로 쓰라”는 조건과 자신의 답안을 나란히 놓았다. 답안에는 “1/8은 5가 없어 유한소수가 아니다. 같은 기준으로 7/20만 가능하다.”라고 적혀 있었다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “분모에 2와 5가 모두 있어야 한다고 생각한 이유를 식으로 보여 줄 수 있을까?”라고 물었다. 이때 학생이 알고 있다고 말한 기준과 실제로 적은 계산이 같은지 먼저 확인하기로 했다.

1/8의 계산으로 확인한 ‘2와 5만’의 의미

교사는 학생에게 “1÷8을 계산해 보자. 결과가 얼마지?”라고 짧게 물었다. 학생은 나눗셈을 직접 하여 1÷8=0.125라고 적었다. 분모에 5가 없다는 이유만으로 유한소수가 아니라고 했지만, 0.125는 소수점 아래 세 자리에서 끝난다. 따라서 처음 답안의 판단은 분모에 2와 5가 모두 필요하다고 읽은 데서 달라졌다.

다만 이 한 번의 오답만으로 계산 자체를 못한다고 단정하지 않았다. 학생이 “분모에는 2와 5가 모두 있어야 한다”고 말한 뒤 실제 나눗셈에서는 0.125를 얻었는지 대조했다. 말로 설명한 기준과 적어 놓은 계산이 다르다면, 조건을 옮겨 쓰는 과정과 나눗셈 과정을 따로 확인해야 하기 때문이다. 이 장면에서는 1/8을 소수로 바꾸는 계산은 맞았고, 그 결과와 판정 기준을 연결하는 부분에서 판단이 바뀌었다.

21/60을 약분한 뒤 분모의 소인수 살피기

교사는 “유한소수가 되려면 2와 5가 모두 있어야 할까, 아니면 어떤 소인수만 남아도 될까?”라고 다시 질문했다. 필요한 만큼만 설명하기 위해 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 된다고 한 단계만 짚었다. 즉 ‘2와 5만’이라는 말은 두 종류가 반드시 함께 있어야 한다는 뜻이 아니라, 허용되는 소인수가 2와 5라는 뜻이다. 이후 조건을 각각의 허용 인수로 읽고 계산하는 일은 학생이 직접 하게 했다.

학생은 기존 답안을 가리지 않고 새 줄에 먼저 약분을 적었다. 21/60=7/20이다. 7과 20은 공약수가 없으므로 기약분수이고, 분모를 소인수분해하면 20=2²×5가 된다. 분모에 2와 5만 남았으므로 유한소수라고 판단한 뒤, 분모를 100으로 바꾸어 7/20=35/100=0.35라고 썼다. 처음에는 5가 반드시 있어야 한다고 판단했지만, 수정 풀이에서는 2만 있어도 되는 1/8의 사례와 2와 5가 함께 있는 7/20의 사례를 같은 기준으로 설명했다.

나눗셈과 서로소 조건으로 답을 따로 검산하기

수정한 답을 확인할 때 같은 소인수 판정을 반복하지 않았다. 먼저 소수로 바꾼 결과를 원래 분수의 분모와 곱해 0.35×60=21이 되는지 대조했다. 이 계산으로 21/60과 0.35가 같은 값을 나타내는지 확인할 수 있다. 이어 7/20의 분자 7과 분모 20이 서로소인지 살폈다. 두 검산이 모두 맞으므로 문제의 결과는 21/60=7/20=35/100=0.35이고, 기약분수의 분모에 허용되지 않는 소인수가 남지 않는다는 결론도 조건과 맞는다.

분모 후보를 고르는 새 조건에서 원리 유지하기

다음에는 한 분수의 판정 결과를 말하는 대신, 약분한 뒤의 분모를 보고 후보를 고르는 문제를 제시한다. “3/n이 유한소수가 되도록 n을 6, 9, 12 중에서 모두 고르라”는 조건이다. 학생은 먼저 각 분수를 약분하여 3/6=1/2, 3/9=1/3, 3/12=1/4라고 적어야 한다. 그다음 1/2와 1/4의 분모에는 소인수 2만 남고, 1/3에는 허용되지 않는 소인수 3이 남는다는 점을 설명하여 n=6, 12를 고른다. 다음 수업에서는 대표 문제의 자료와 답을 미리 보이지 않은 채, 학생이 풀이 첫 줄에 ‘2와 5만’을 각각의 허용 인수로 해석하고 약분한 분모를 확인하는지 관찰한다. 마지막에는 계산 결과가 조건과 맞는 이유를 말로 설명하고, 풀이를 마친 뒤 0.35×60=21과 서로소 여부를 스스로 대조하는지 확인한다.