원주혁신도시 중등수학과외

점 (0,1), (2,5), (5,11)이 한 직선 위에 있는지 판단하고 식을 구하는 문제로 수업을 시작했다. 이번에는 x의 간격이 같지 않으므로 y가 얼마나 증가했는지만 보아서는 안 된다. 학생은 먼저 (0,1)에서 (2,5)까지의 기울기를 (5−1)÷(2−0)=2로 계산했고, (2,5)에서 (5,11)까지도 (11−5)÷(5−2)=2라고 적었다. 두 구간의 기울기가 같으므로 세 점은 한 직선 위에 있고, 첫 점의 x=0, y=1을 이용하면 식은 y=2x+1이라고 결론 내렸다.

같은 y 증가량이 아니라 x에 대한 비를 확인하기

교사는 학생이 두 구간에서 y의 증가량과 x의 증가량을 함께 비교했는지 물었다. “y는 몇만큼 변했고, x는 몇만큼 변했지?”라고 짧게 질문하자 학생은 첫 구간에서 y가 4, x가 2만큼 변했고, 다음 구간에서는 y가 6, x가 3만큼 변했다고 말했다. 따라서 두 구간 모두 변화량의 비가 2라는 근거를 말과 계산으로 남겼다. x 간격이 일정하지 않은 문제에서는 y 증가량 자체가 아니라 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값을 비교해야 한다는 점을 이 문제의 기준으로 삼았다.

이제 원주혁신도시중등수학과외 수업에서 비교할 표를 펼쳤다. 표 A는 (0,2), (1,5), (2,8)이고, 표 B는 (0,2), (1,5), (2,10)이다. 학생은 처음에 “두 표의 첫 두 점이 같으므로 둘 다 y=3x+2”라고 작성했다. 첫 두 점으로 y절편 2와 기울기 3을 찾은 부분은 맞았다. 그러나 두 점만 확인한 뒤 세 점이 모두 그 직선 위에 있는지 검사하지 않은 것이 처음 달라진 판단이었다.

두 점으로 정한 식에 셋째 점도 놓이는가

교사는 오답을 보고 곧바로 원인을 단정하지 않았다. “셋째 점도 같은 식을 만족할까?”라고 묻고, 학생에게 표의 모든 점을 직접 확인하게 했다. 학생이 말로는 “확인해야 한다”고 답하는지, 실제 계산 줄에 셋째 점을 대입하는지를 함께 살폈다. 두 점으로 직선을 정할 수 있지만, 표의 나머지 점도 그 직선 위에 있어야 표 전체가 일차함수 관계를 나타낸다는 설명만 제공했다. 식을 완성하거나 결론을 대신 말하지 않고, 셋째 점을 대입하는 단계는 학생에게 맡겼다.

학생은 수정 풀이를 직접 썼다. 표 A는 x가 1씩 증가할 때 y가 3씩 증가하므로 y=3x+2이다. 표 B도 첫 두 점만 보면 같은 식이지만, y의 변화량이 3, 5로 달라 일정하지 않다. 따라서 세 점이 한 직선 위에 놓이지 않으며, 두 표 모두 같은 일차함수라고 할 수 없다. 처음 풀이와 달라진 점은 첫 두 점으로 식을 정한 뒤 멈추지 않고 표의 모든 점을 확인했다는 데 있다.

대입으로 결론을 따로 검산하기

검산은 변화량을 다시 계산하는 방식으로 반복하지 않았다. 표 A의 세 점을 식에 대입하면 x=0일 때 y=2, x=1일 때 y=5, x=2일 때 y=8이므로 모두 맞는다. 표 B의 식으로 주장한 y=3x+2에 x=2를 넣으면 y=3×2+2=8인데 표에는 10이라고 되어 있어 8≠10이다. 이 대입 결과는 B의 셋째 점이 같은 직선 위에 없다는 판단을 독립적으로 뒷받침한다.

마지막에는 처음의 새 문제로 돌아가 학생이 같은 원리를 혼자 적용했다. (0,1), (2,5), (5,11)에서는 x 간격이 같지 않으므로 구간 기울기를 각각 계산해야 한다. (5−1)÷(2−0)=2, (11−5)÷(5−2)=2이고, y절편이 1이므로 식은 y=2x+1이다. x=0, 2, 5를 넣으면 y가 각각 1, 5, 11이 되어 세 점 모두 확인된다. 다음 수업에서는 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 표의 모든 점을 직접 확인하고 그 이유를 도움 없이 말하는지, 필요할 때 “두 점으로 정한 직선에 나머지 점도 있어야 한다”는 기준을 스스로 떠올려 계산에 남기는지를 확인한다.