개운동 수학과외

72=2³×3으로 쓴 풀이 살펴보기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “72를 8×9에서 출발해 소인수분해하라.” 학생은 72=2³×3이라고 썼습니다. 8=2³까지는 바르게 바꾸었지만, 9를 소수 단위로 나타내는 과정이 끝나지 않았습니다. 9도 3×3이므로 3²로 써야 합니다. 따라서 이 문제의 정답은 72=2³×3²입니다. 여기서 구해야 하는 것은 8과 9를 각각 소인수만의 곱으로 바꾼 뒤, 같은 소인수가 반복된 횟수까지 나타낸 식입니다.

틀린 판단이 개념 문제인지 계산 문제인지 확인하기

교사는 처음 답을 곧바로 외운 공식의 실수라고 단정하지 않고 “8은 어떤 소수의 곱으로 바꾸었고, 9는 어디까지 나누었니?”라고 묻습니다. 학생이 9=3×3이라는 사실은 알고도 식에 한 번만 적었다면, 반복된 소인수를 세어 지수로 표시하는 단계가 빠진 것입니다. 반대로 9를 더 이상 나눌 필요가 없다고 생각했다면 소인수의 뜻을 다시 확인해야 합니다. 소인수분해에서는 합성수인 9를 그대로 둘 수 없고, 1보다 큰 자연수 중 약수가 정확히 두 개인 소수 3으로 끝까지 분해해야 합니다. 학생이 이유를 바로 설명하기 어렵다면 교사가 9=3×3을 먼저 함께 적고, 이어서 두 개의 3을 3²로 묶어 보게 합니다.

반복된 소인수를 지수로 나타내며 다시 풀기

교사는 문제의 출발 조건인 72=8×9를 다시 짚고, 두 수를 각각 소인수분해합니다. 8은 2×2×2이므로 2가 세 번 반복되어 2³이고, 9는 3×3이므로 3²입니다. 따라서 8×9=(2×2×2)×(3×3)=2³×3²가 됩니다. 학생이 한 번에 모든 설명을 따라가기 어렵다면 교사는 8의 부분만 예로 보인 뒤, 학생이 9를 같은 방식으로 바꾸도록 기다립니다. 학생은 처음의 식에서 8을 바꾼 판단은 유지하되, 9의 3을 한 번만 쓴 부분을 고칩니다. 그런 다음 9=3×3이라고 적고, 반복된 3의 개수가 2개이므로 3²라고 설명하며 최종 답을 완성합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

수정한 식은 원래 조건에 대입해 확인할 수 있습니다. 2³×3²=8×9=72이지만, 처음 식인 2³×3은 8×3=24이므로 72와 같지 않습니다. 이 검산은 지수를 빠뜨린 것이 단순한 표기 차이가 아니라 곱의 값 자체를 바꾼다는 점을 보여 줍니다. 이후에는 문제와 조건만 보이게 하고 앞서 쓴 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 72를 다시 소인수분해하게 합니다. 새 적용 문제로 “72를 소인수분해하고 2가 몇 번 곱해졌는지 밝혀라”를 제시하면, 학생은 72=2³×3²를 구한 뒤 2가 세 번 곱해졌다고 답해야 합니다. 추가로 48과 96을 비교하면 48=2⁴×3, 96=2⁵×3입니다. 두 수는 소인수의 종류는 같지만 지수가 다르므로 서로 같습니다가 아니라 서로 다른 수입니다. 다음 수업에서는 학생이 반복된 소인수의 개수와 지수를 연결해 설명하고, 새로운 조건에서도 같은 절차를 스스로 적용하는지를 확인합니다.