구포동 중등수학과외

근호 안과 밖에 놓인 마이너스 기호

수업은 “√[−(−3)²]가 실수인지, −√[(−3)²]의 값은 얼마인지 구하라”는 문제에서 시작한다. 학생은 두 식에 모두 마이너스 기호가 있다는 점을 먼저 보았지만, 기호가 놓인 위치까지 구분하지 않은 채 계산하려고 한다. 교사는 식 옆에 근호가 실제로 덮는 범위를 표시하게 하며 묻는다. “음수 기호가 근호 안에 있니, 밖에 있니?” 학생은 첫 식에서는 −(−3)² 전체가 근호 안에 있고, 둘째 식에서는 √[(−3)²] 앞에 −가 있다고 말한다.

첫 식부터 확인하면 (−3)²=9이므로 근호 안은 −9가 된다. 따라서 √(−9)는 실수 범위에서 값이 없다. 둘째 식은 (−3)²=9이므로 −√9=−3이다. 같은 마이너스 기호라도 근호 안에 있으면 제곱한 결과와 함께 근호의 대상이 되고, 근호 밖에 있으면 제곱근을 계산한 뒤 그 값의 반대수가 된다. 구포동중등수학과외 수업에서는 이 차이를 말로만 확인하지 않고, 학생이 근호의 범위를 직접 괄호와 밑줄로 표시하게 한다.

대표 식에서 처음 달라진 판단 찾기

이제 대표 문제인 “√[(−7)²]와 −√49를 각각 계산하라”를 제시한다. 학생은 첫 식을 계산할 때 (−7)²=49를 먼저 구하고 √49=7이라고 적는다. 이 부분은 정확하다. 그러나 둘째 식에는 “−√49=7”이라고 작성했다. 교사는 오답만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생에게 두 식의 마이너스가 어디에 있는지 다시 말하게 한다. 학생은 말로는 둘째 마이너스가 근호 밖에 있다고 설명하지만, 적어 놓은 계산에서는 그 부호를 제곱근의 결과에 포함한 셈이다.

교사는 짧게 “√49를 먼저 계산하면 얼마지?”라고 묻고, 종이에 √49=7만 한 단계 시범으로 적는다. 이어서 “그다음 앞의 −는 무엇을 하니?”라고 질문한다. 학생이 말로는 7의 반대수가 된다고 답하면서도 식을 옮겨 쓸 때 부호를 빠뜨리는지 살피기 위해, 설명을 더 이어 가지 않고 다음 계산은 직접 작성하게 한다. 이 과정에서 말로 알고 있는 기준과 실제 풀이의 순서가 같은지 대조한다. 둘이 다르면 개념 설명을 늘리기보다 기호를 옮겨 적는 과정과 계산 순서를 따로 확인한다.

근호 계산 뒤 바깥 연산 적용하기

학생은 대표 문제를 보이지 않는 상태에서 다시 쓴다. 먼저 첫 식은 (−7)²=49, √49=7로 정리하므로 √[(−7)²]=7이다. 둘째 식에서는 근호 안의 계산을 끝낸 뒤 바깥의 부호를 적용하여 √49=7, −√49=−7이라고 적는다. 처음 풀이와 달라진 부분은 √49의 값 자체가 아니라, 그 뒤에 있는 근호 밖의 −를 별도의 연산으로 처리한 점이다.

검산은 같은 제곱근 계산을 반복하지 않는 방식으로 진행한다. 첫 번째 답 7은 제곱하면 49가 되고, 근호 √49의 값이므로 음이 아닌 조건에도 맞는다. 둘째 답 −7은 7의 반대수이므로, 원래 식에서 √49 앞에 붙은 −와 일치한다. 학생은 “첫 값은 제곱해서 49가 되는 음이 아닌 값이고, 둘째는 그 값의 반대수”라고 설명한다. 교사는 정답 숫자만 확인하지 않고, 두 식의 부호 위치와 결과의 관계를 함께 말했는지 확인한다.

조건을 바꾼 문제에 원리 적용하기

마지막에는 마이너스 기호를 근호 안과 밖에 각각 배치한 처음의 적용 문제로 돌아온다. 학생은 첫 식에서 (−3)²=9를 계산한 뒤 근호 안에 남은 −9를 확인하여 √[−(−3)²]=√(−9)는 실수 값이 없다고 적는다. 둘째 식은 (−3)²=9, √9=3을 차례로 계산하고 바깥의 부호를 적용하여 −√[(−3)²]=−√9=−3이라고 쓴다. 숫자는 달라졌지만, 근호 계산을 끝낸 뒤 바깥 연산을 적용한다는 원리는 대표 문제와 같다. 달라진 조건은 첫 식에서 음수가 근호 안에 남아 실수 범위의 계산 가능 여부까지 판단해야 한다는 점이다.

다음 수업에서는 대표 문제의 자료만 다시 제시하되, 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생은 풀이를 시작할 때 근호가 적용되는 범위를 표시하고, 근호 계산을 끝낸 뒤 바깥 연산을 적용해야 한다. 이후 계산 결과가 원래 조건과 맞는지도 직접 설명하게 한다. 교사는 첫 답을 제곱했을 때 49이며 음이 아닌지, 둘째 답이 그 값의 반대수인지, 그리고 마이너스 기호의 위치에 따라 실수 계산 가능 여부를 구분했는지를 풀이에 남긴 근거로 확인한다.