화명동 중등수학과외

“분산=(−2+0+2)/3=0”이라는 답안에서 시작하기

화명동중등수학과외 수업에서 학생은 자료 2, 4, 6의 평균과 분산을 구하는 문제를 풀며 “분산=(−2+0+2)/3=0”이라고 적었다. 평균을 4로 구하고 각 자료의 편차를 −2, 0, 2로 표시한 부분은 조건에 맞았다. 그러나 편차를 그대로 더해 평균낸 값을 분산이라고 판단한 지점에서 풀이가 달라졌다. 교사는 답을 바로 고치지 않고 “자료가 흩어져 있어도 편차의 합은 항상 0이 될까?”라고 물었다. 학생이 편차 −2와 2가 서로 상쇄되어 0이 된다고 말하는지, 그 말을 실제 계산 줄에 어떻게 반영했는지를 함께 확인했다. 이 한 번의 오답만으로 학생이 분산의 뜻을 전혀 모른다고 단정하지 않고, 편차 평균과 편차 제곱의 평균을 구분하는지 좁혀 살폈다.

편차의 부호가 사라지는 이유를 한 단계만 확인하기

교사는 학생이 적은 식 옆에 평균 4를 다시 표시하고, 편차가 −2, 0, 2라는 사실을 그대로 남겼다. 이어 “분산에서 부호가 서로 없어지지 않게 하려면 각 편차에 무엇을 해야 할까?”라고 짧게 질문했다. 설명은 분산의 전체 풀이를 대신하는 방식이 아니라, 분산은 부호 상쇄를 막으려고 편차를 제곱한다는 한 단계로 제한했다. 학생은 교사의 시범을 본 뒤 다음 줄을 직접 작성했다. −2²=4, 0²=0, 2²=4이므로 제곱한 편차의 합은 4+0+4=8이다. 따라서 분산은 8/3이다. 처음 풀이에서는 편차의 부호가 남아 −2+0+2를 계산했지만, 수정 풀이에서는 각 편차를 제곱한 뒤 그 평균을 구했다는 차이가 식에 드러났다.

수정한 값이 조건과 맞는지 다른 식으로 검산하기

학생이 완성한 답은 평균 4, 분산 8/3이다. 먼저 편차의 합 −2+0+2=0인지 확인하면 평균을 중심으로 자료가 놓인 관계는 유지된다. 하지만 편차의 합이 0이라는 사실만으로 분산이 0이라고 할 수는 없다. 제곱한 값은 4, 0, 4로 모두 0 이상이고, 그 평균이 8/3이므로 분산이 음수가 되지 않는다는 조건에도 맞는다. 같은 제곱값을 단순히 다시 더하는 대신, 다른 표현으로도 확인했다. 자료의 제곱 평균은 (2²+4²+6²)/3=(4+16+36)/3=56/3이고, 여기에 평균의 제곱 4²=16을 빼면 56/3−16=56/3−48/3=8/3이다. 원래 계산과 다른 방법으로도 같은 값이 나와 수정된 분산을 확인할 수 있다.

모든 자료가 같을 때 분산이 0이 되는 조건

이제 조건을 바꿔 자료 4, 4, 4의 평균과 분산을 구하게 했다. 앞의 자료 2, 4, 6에는 평균과 다른 값이 있었지만, 새 자료에서는 세 값이 모두 평균과 같다. 학생은 평균을 (4+4+4)/3=12/3=4로 적고, 각 편차를 4−4=0으로 표시해야 한다. 세 편차를 제곱해도 0², 0², 0²이므로 제곱값의 합은 0, 분산은 0이다. 이 문제에서 유지되는 원리는 편차를 제곱한 뒤 평균낸다는 것이고, 달라진 조건은 자료가 모두 같은 값으로 바뀌었다는 점이다. 따라서 자료가 평균에서 떨어진 정도가 전혀 없을 때 분산이 0이 된다.

다음에는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 채 자료 2, 4, 6의 문제 조건만 제시하고, 이어 자료 4, 4, 4를 스스로 비교하게 한다. 학생은 각 자료의 평균을 먼저 구한 뒤 편차를 적고, 각 편차를 제곱하여 평균내는 식을 도움 없이 완성해야 한다. 분산이 0인 이유를 묻는 경우에는 “모든 값이 평균과 같아 편차가 0”이라고 말하고, 자료 2, 4, 6에서는 제곱값 평균 8/3을 남기는지 확인한다. 필요할 때는 부호 상쇄를 막기 위해 제곱한다는 설명까지만 다시 제시하고, 다음 계산은 학생의 식과 설명으로 판단한다.