만덕동 중등수학과외

“B 둘레=24×3/5=14.4cm”라는 첫 답안

중2 도형의 닮음 수업에서 학생은 다음 문제를 먼저 풀었다. 닮은 두 다각형 A, B의 닮음비가 A:B=3:5이고, A의 둘레가 24cm일 때 B의 둘레를 구하는 문제였다. 학생은 조건을 옮겨 적은 뒤 B 둘레=24×3/5=14.4cm라고 썼다. 3과 5를 사용했고 주어진 24cm도 계산에 넣었지만, 결과가 A의 둘레보다 작아졌다는 점이 문제 조건과 맞지 않았다.

만덕동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식을 곧바로 틀렸다고 정리하지 않고, 첫 계산에서 어떤 판단이 달라졌는지 확인했다. 교사는 짧게 물었다. “B가 A보다 큰 도형일까?” 학생은 닮음비의 뒤 숫자가 더 크므로 B가 더 큰 도형이라고 설명했다. 교사는 그 설명과 학생의 식을 나란히 놓고 비교하게 했다. B가 더 큰 도형이라고 말하면서도 24에 3/5를 곱해 작은 값을 만든 지점에서, 비의 순서가 서로 맞지 않는다는 원인을 좁혔다.

A:B=3:5에서 구할 도형의 비를 맞추기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 제시했다. “A:B=3:5이므로 B의 길이가 더 크다.” 그리고 학생에게 구할 도형과 주어진 도형의 순서를 먼저 맞추라고 했다. A의 둘레 24cm에서 B의 둘레를 구하므로 필요한 비는 B:A가 아니라 B/A=5/3이다. 학생은 처음 식의 3/5를 지우고, “모든 대응변이 5/3배이므로 둘레도 5/3배”라고 직접 적었다.

그 뒤 학생은 24×5/3=8×5=40cm로 계산했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 곱셈 자체가 아니라, 어느 도형을 기준으로 어느 도형을 구하는지에 따라 비의 순서를 바꾼 점이었다. 둘레는 여러 대응변의 합이지만 모든 대응변이 같은 비율로 커지므로, 둘레에도 같은 5/3을 적용한다는 연결을 말로 설명한 뒤 최종 답을 40cm로 정리했다.

검산은 같은 곱셈을 반복하지 않도록 비례식으로 확인했다. 24:40을 각각 8로 나누면 3:5가 되어 주어진 A:B=3:5와 일치한다. 또 A의 각 대응변을 5/3배한 뒤 모두 더하는 경우와, A의 둘레 전체인 24cm를 5/3배하는 경우가 같은 결과를 만든다는 점도 확인했다. 따라서 14.4cm는 B가 더 큰 도형이라는 조건을 만족하지 못하고, 40cm가 조건과 계산에 모두 맞는다.

둘레 비에서 닮음비를 복원하는 적용 문제

이제 닮음비를 직접 제시하지 않는 문제로 바꾸었다. 닮은 두 도형의 둘레가 각각 24cm와 40cm이고, 작은 도형의 한 변이 9cm일 때 대응하는 큰 도형의 변을 구하는 문제다. 앞의 문제에서는 3:5를 바로 읽었지만, 이번에는 먼저 작은 도형과 큰 도형을 구분하고 둘레에서 길이비를 복원해야 한다. 학생은 24:40=3:5라고 정리한 뒤, 큰 도형의 대응변을 구하므로 9에 5/3을 곱했다.

계산은 9×5/3=3×5=15cm이다. 여기서 유지되는 원리는 모든 대응길이에 같은 닮음비를 적용한다는 점이고, 달라진 조건은 닮음비가 문제에 직접 주어지지 않아 둘레의 비에서 먼저 찾아야 한다는 점이다. 마지막으로 학생은 9:15=3:5=24:40이라고 적어 작은 변과 큰 변의 비가 둘레의 비와 같은지 확인했다.

다음 수업에서는 원래 문제의 조건은 그대로 둔 채 풀이 부분만 가리고, 학생이 먼저 “B=3:5이므로 B의 길이가 더 크다”라고 판단한 뒤 구할 도형과 주어진 도형의 비 순서를 맞추는지 확인한다. 이어 24×5/3=40cm를 혼자 완성하고, 24:40=3:5라는 검산으로 원래 조건을 만족하는지 설명하는 근거까지 남기는지를 기록한다.