문흥동 중등수학과외

“크기가 7이므로 같은 수”라는 답안에서 시작하기

가상의 중3 학생이 제곱근과 실수 단원에서 √[(−7)²]와 −√49를 각각 계산하라는 문제를 풀었다. 학생은 종이에 “두 식은 크기가 7이므로 같은 수다.”라고 적었다. 계산 과정에 숫자 7을 확인한 점은 맞지만, 두 식의 최종 값까지 같다고 판단한 부분은 문제의 부호 조건과 어긋난다. 문흥동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 문장과 실제 식을 나란히 놓고, 절댓값이 같은 것과 수 자체가 같은 것을 구분하는 장면을 확인한다.

교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 수직선을 그린 뒤 짧게 묻는다. “수직선의 7과 −7은 같은 점일까?” 학생이 두 점의 위치가 다르다고 설명하는지, 아니면 여전히 ‘크기만 같으니 같은 수’라고 말하는지를 듣는다. 이어 학생의 설명과 첫 계산을 비교한다. 만약 수직선에서는 두 점이 다르다고 말하면서 식에서는 두 값을 같다고 적었다면, 말로 알고 있는 내용과 풀이에 적용한 판단이 달라진 지점까지만 원인을 좁힌다.

제곱근의 값과 절댓값을 나누어 계산하기

교사는 한 단계만 대조해 준다. 먼저 (−7)²=49이고, 제곱근 기호 √49는 제곱해서 49가 되는 값 중 음이 아닌 값을 뜻하므로 √49=7이다. 따라서 첫 식은 √[(−7)²]=√49=7이다. 둘째 식은 근호 밖에 마이너스가 있으므로 −√49=−7이 된다. 여기서 교사는 “절댓값이 같아도 부호가 다르면 서로 다른 수다.”까지만 설명하고, 두 식의 최종 값을 학생이 직접 완성하게 한다.

학생은 처음의 “같은 수다”라는 문장을 지우고, √49=7이므로 √[(−7)²]=7이라고 다시 쓴다. 이어 근호 밖의 부호를 따로 확인하여 −√49=−7이라고 적는다. 수정된 풀이에서 달라진 점은 두 식 모두 크기가 7이라는 사실을 버린 것이 아니라, 그 사실을 곧바로 같은 값이라는 결론으로 바꾸지 않은 것이다. 학생은 “절댓값은 둘 다 7이지만 실제 수의 값은 7과 −7로 다르다.”라고 설명한다.

계산을 반복하지 않고 결과를 검산하는 방법

검산은 같은 제곱근 계산을 한 번 더 쓰는 방식으로 진행하지 않는다. 첫 결과 7을 제곱하면 7²=49이므로 첫 식의 근호 안에 있던 값과 맞고, 근호 √49의 값인 7은 음이 아닌 조건도 만족한다. 둘째 결과 −7은 첫 결과 7의 반대수인지 확인한다. 그러므로 두 결과는 절댓값은 같지만 부호가 반대이며, 학생의 처음 문장처럼 같은 수라고 할 수 없다.

이제 조건을 바꾼 적용 문제를 제시한다. 학생은 √[−(−3)²]가 실수인지, −√[(−3)²]의 값은 얼마인지 구한다. 첫 식은 근호 안에서 (−3)²=9가 된 뒤 앞의 마이너스가 적용되어 −9가 되므로, 음수의 제곱근을 실수 범위에서 나타낼 수 없어 실수 값이 없다. 둘째 식은 먼저 (−3)²=9를 계산하고 근호 밖의 마이너스를 적용하므로 −√9=−3이다. 근호 안의 음수와 근호 밖의 음수는 계산 가능 여부와 결과에 서로 다르게 작용한다.

다음 수업에서는 원래 문제의 조건은 그대로 둔 채 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생은 √[(−7)²]와 −√49를 각각 계산하고, 두 결과의 절댓값과 부호를 따로 표시한 뒤 왜 같은 수가 아닌지 혼자 설명해야 한다. 교사는 정답만 보지 않고, 학생이 제곱 결과 49와 근호의 음이 아닌 값 조건을 근거로 7을 선택하고, 근호 밖의 마이너스가 −7을 만든다고 말하는지 확인한다.