신용동 중등수학과외

“넓이비가 주어졌을 때도 분수 비의 분자와 분모를 모두 제곱해야 할까요?” 수업에서 학생은 닮은 두 삼각형의 넓이비가 9:25이고, 작은 삼각형의 한 변이 6cm일 때 대응하는 큰 변의 길이를 구하는 문제를 먼저 만났습니다. 교사는 바로 계산하지 않고 학생에게 “9:25를 길이비로 바꾸면 어떻게 될까?”라고 물었습니다. 학생은 넓이는 길이의 제곱에 따라 변한다는 기준을 떠올린 뒤, 길이비가 3:5라고 적었습니다. 따라서 큰 변은 6×5/3=10cm입니다. 넓이비를 길이비로 바꾸는 방향은 달라졌지만, 넓이비가 길이비의 제곱이라는 원리는 그대로 사용했습니다.

9:25에서 3:5를 찾는 과정

학생이 적은 3:5가 단순히 익숙한 비를 떠올린 결과인지 확인하기 위해 교사는 “3:5를 다시 넓이비로 바꾸면 무엇이 되지?”라고 질문했습니다. 학생은 각 수를 제곱하여 3²:5²=9:25라고 말했습니다. 이어서 종이에 (6/10)²=36/100=9/25를 적었습니다. 이 검산은 큰 변을 10cm로 구한 뒤 원래 넓이비와 맞는지 확인하는 방법입니다. 처음부터 길이비를 제곱하는 것과, 넓이비에서 제곱근에 해당하는 비를 찾는 것은 방향이 다르지만, 대응하는 길이와 넓이 사이의 관계를 확인한다는 점은 같습니다.

4cm와 10cm의 길이 배율에서 생긴 오류

이제 비교할 대표 문제를 제시했습니다. 닮은 삼각형 A와 B의 대응변 길이가 각각 4cm, 10cm이고, A의 넓이가 12cm²일 때 B의 넓이를 구하는 문제입니다. 학생은 길이 배율을 10/4=5/2라고 정확히 적었습니다. 하지만 이어서 “배율=25/2이므로 넓이 150cm²”라고 작성했습니다. 교사는 이 답을 보고 곧바로 원인을 단정하지 않았습니다. 학생이 넓이비의 성질을 말로 알고 있는지, 아니면 식으로 옮기는 과정에서 달라졌는지 나누어 확인했습니다.

교사는 짧게 “(5/2)²을 분수 곱으로 써 볼래?”라고 물었습니다. 학생은 처음에는 5²/2라고 적으려 했고, 교사는 숫자를 대신 계산해 주지 않은 채 분자와 분모에 각각 같은 표시를 하도록 했습니다. 한 단계만 시범으로 보이며 (5/2)(5/2)=25/4라고 설명했습니다. 그다음 학생이 직접 두 분수를 곱해 보게 했습니다. 학생이 말로는 “분자만 제곱하면 된다”고 설명하는지, 실제 답안에도 분모를 빠뜨리는지를 대조하면 개념 설명과 기록 과정 중 어느 부분을 더 확인해야 하는지 구분할 수 있습니다.

학생이 직접 고친 넓이 계산과 조건 검산

학생은 기존의 25/2를 지우고 다음과 같이 다시 썼습니다. 길이 배율은 10/4=5/2, 넓이 배율은 (5/2)²=25/4입니다. 그러므로 B의 넓이는 12×25/4=75cm²입니다. 이번 수정에서 달라진 부분은 5의 제곱만 계산한 것이 아니라, 분수 전체를 두 번 곱하여 분자와 분모를 모두 제곱한 점입니다. 교사는 같은 곱셈을 반복시키는 대신 도형의 조건과 대조했습니다. 대응하는 밑변과 높이가 각각 5/2배가 되므로 넓이는 한 배율이 아니라 두 배율의 곱인 (5/2)×(5/2)=25/4배가 됩니다. 따라서 12cm²에 25/4를 곱한 75cm²가 조건에 맞습니다.

마지막에는 대표 문제의 자료를 그대로 두고 기존 풀이와 정답을 가린 채 학생이 처음부터 다시 식을 세우게 합니다. 학생은 풀이를 시작할 때 분수 비의 분자와 분모를 모두 제곱하고, 계산을 마친 뒤 밑변과 높이가 각각 5/2배라는 근거를 말해야 합니다. 이어서 넓이비가 9:25인 새 문제에서는 길이비 3:5를 먼저 적고, 6cm에 5/3을 곱해 10cm를 구하는 행동을 혼자 수행하게 합니다. 교사는 학생이 (6/10)²=9/25를 남겨 원래 조건과 결과를 대조하는지 확인합니다.