풍향동 중등수학과외

“AB:EF=BC:DE이므로 EF=27/4cm.” 학생이 적어 온 가상 답안을 보며 수업을 시작했다. 문제는 △ABC∽△DEF이고 A↔D, B↔E, C↔F이며, AB=6cm, BC=8cm, DE=9cm일 때 EF를 구하는 내용이다. 학생은 두 비를 세워 계산하려고 했다는 점은 맞았지만, AB와 EF를 한 쌍으로 놓고 BC와 DE를 연결했다. 풍향동중등수학과외 수업에서는 이 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 대응 관계를 말로 알고 있는지와 실제 식에 옮기는지를 함께 확인한다.

AB와 대응하는 변을 꼭짓점 순서로 말하기

교사는 답안을 바로 고치지 않고 짧게 물었다. “AB와 대응하는 변을 꼭짓점 순서로 말해 볼래?” 학생이 A와 D, B와 E를 차례로 확인하면 AB와 DE가 짝이라는 것을 말할 수 있다. 반대로 “AB와 EF”라고 답한다면, 눈에 익은 문자나 변의 위치를 기준으로 짝을 정했을 가능성을 생각해 볼 수 있다. 이때 말로는 A↔D, B↔E를 말하면서도 계산 줄에서는 다른 변을 연결할 수 있으므로, 질문의 답과 처음 작성한 식을 나란히 놓고 판단한다.

교사는 한 단계만 보여 준다. “A↔D, B↔E이므로 AB↔DE다.” 그리고 △ABC와 △DEF의 문자 배열을 세로로 맞춰 적는다. 설명 뒤에는 학생이 직접 대응 꼭짓점을 따라 변의 짝을 먼저 적게 한다. 학생은 종이에 AB↔DE, BC↔EF를 쓴 뒤, 처음의 AB:EF와 BC:DE가 문제의 대응 관계와 맞지 않았다고 표시했다.

6:9의 비를 기준으로 수정 풀이 완성하기

이제 학생이 계산을 이어 간다. AB와 DE가 대응하므로 AB:DE=6:9=2:3이다. 따라서 BC와 EF도 같은 순서로 놓아 BC:EF=2:3을 세운다. BC=8cm이므로 8:EF=2:3이고, 2EF=24에서 EF=12cm를 얻는다. 학생은 처음 풀이에서 변의 짝을 잘못 정한 것이 달라졌고, 수정 풀이에서는 대응변을 먼저 적은 뒤 비를 세웠다는 점을 말로 설명한다.

검산은 같은 나눗셈을 다시 반복하지 않는다. 완성된 길이를 대응변의 비로 대조하면 6/9=8/12=2/3이다. AB와 DE의 비, BC와 EF의 비가 모두 같으므로 닮음 조건에 맞고, EF의 단위도 12cm로 확인된다. 학생은 “문자 나열이 대응을 정하고, 대응변끼리 같은 비를 만든다”고 자신의 말로 정리한다.

꼭짓점 순서를 바꾼 새 조건에 적용하기

이어지는 문제에서는 숫자는 그대로 두고 닮음 기호 뒤의 순서를 바꾼다. △ABC∽△FDE이며 A↔F, B↔D, C↔E이다. AB=6cm, BC=8cm, FD=9cm일 때 DE를 구하는 문제다. 학생은 익숙한 문자끼리 자동으로 연결하지 않고, 먼저 AB↔FD, BC↔DE를 적는다. AB와 FD의 배율은 9/6=3/2이므로 DE=8×3/2=12cm이다.

마지막으로 학생은 6/9=8/12=2/3을 이용해 두 대응변의 비를 대조하고, 닮음 기호에 적힌 꼭짓점 순서가 짝을 결정했다는 근거를 덧붙인다. 다음 수업에서는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 채 이 문제의 조건만 제시한다. 학생이 도움 없이 대응 꼭짓점으로 변의 짝을 먼저 적고, 왜 그렇게 정했는지 말한 뒤 계산하는지, 그리고 6/9=8/12라는 별도 검산 근거를 남기는지를 확인한다.