배움노트 · 중등수학과외 수업 안내
삼산지구 중등수학과외
삼산지구 중등수학과외는 중학생을 대상으로 방문·화상 수업을 안내합니다. 개념 이해와 식의 변형, 문제 조건과 풀이 근거 등을 함께 확인하고 학생에게 필요한 부분부터 지도합니다.
무료상담부터 수업 방향 확인까지
1회 무료상담에서 현재 상황을 듣고, 수학 진단과 기존 시험지·문제집·학습 기록을 함께 살펴 공부 방향을 정합니다. 첫 미팅에서는 정한 방향에 맞춰 1회 무료수업을 진행하고, 학생·학부모님께 필요한 도움과 앞으로의 학습 순서를 설명합니다.
삼각형 안의 평행선에서 대응변을 찾는 과정
공식을 기억해도 어느 길이나 조건을 써야 하는지 헷갈릴 수 있습니다. 그림에서 찾은 정보와 식에 사용한 정보를 비교해 필요한 설명을 정합니다.
아래는 수업 방법을 설명하는 교육용 가상 예시입니다. 실제 학생의 성과를 뜻하지 않으며, 진단과 지도 내용은 학생의 현재 학습 범위에 맞춰 정합니다.
“왜 AB=AD+DB를 먼저 구해야 할까?”
중2 도형의 닮음 수업에서 교사는 학생에게 계산을 바로 시작하지 않고 먼저 한 문장을 물었다. “작은 삼각형의 변 AD와 대응하는 큰 삼각형의 변은 DB일까, AB일까?” 학생은 잠시 식을 바라보다가 “AD와 붙어 있는 부분이니까 DB인 것 같다”고 답했다. 교사는 이 대답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 학생이 도형의 어느 부분을 하나의 삼각형으로 보고 있는지 확인하기로 했다. 삼산지구중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제의 조건을 나란히 놓고, 처음 달라진 판단이 어디에서 생겼는지 말과 계산으로 확인한다.
문제의 조건은 다음과 같다. 삼각형 ABC에서 D는 AB 위에 있고 E는 AC 위에 있으며, DE∥BC이다. AD=3cm, DB=2cm, BC=10cm일 때 DE를 구해야 한다. 학생은 공책에 “AD:DB=3:2이므로 DE=15cm”라고 적었다. AD와 DB의 길이를 비교한 뒤 그 비를 DE와 BC에 바로 적용한 것이다. 하지만 평행선 때문에 닮음이 되는 삼각형은 작은 △ADE와 큰 △ABC이다. 따라서 대응변도 이 두 삼각형의 전체 관계 안에서 찾아야 한다.
오답에서 확인한 한 가지 판단
교사는 학생의 식 옆에 선을 그어 AD가 작은 삼각형의 변이라는 점을 표시하고 물었다. “작은 삼각형 AD의 대응변은 DB일까, AB일까?” 학생이 DB라고 말하자, 교사는 문제의 도형에서 작은 삼각형의 세 꼭짓점 A, D, E와 큰 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C를 차례로 가리켰다. 이때 확인할 것은 AD와 DB가 서로 대응하는지가 아니라, △ADE와 △ABC에서 같은 위치에 있는 변이 무엇인지였다.
학생의 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않기 위해 교사는 설명을 길게 이어 가지 않았다. 대신 “D에서 B까지의 DB가 큰 삼각형 전체의 변인가?”라고 다시 물었다. 학생은 DB가 AB의 일부일 뿐이라는 점을 확인하고, 처음 적은 AD:DB=3:2가 작은 삼각형과 큰 삼각형의 닮음비가 될 수 없다는 것을 식 옆에 짧게 적었다. 여기서 교사가 제공한 도움은 대응 관계를 대신 계산해 주는 것이 아니라, 비교해야 할 두 삼각형의 범위를 다시 보게 하는 한 단계의 표시였다.
전체 대응변을 만든 뒤 직접 수정하기
교사는 “그럼 큰 삼각형에서 AD와 대응하는 변을 쓰려면 먼저 무엇을 알아야 할까?”라고 물었다. 학생은 AD와 DB를 더해 큰 삼각형의 전체 변 AB를 만들었다. AB=AD+DB=3+2=5cm라고 쓴 뒤, △ADE와 △ABC가 닮음이므로 대응변의 비를 세웠다.
△ADE∽△ABC이므로
AD/AB=DE/BC=3/5이다. 따라서 DE/10=3/5이고, 양변에 10을 곱하면 DE=6cm이다. 학생은 처음 풀이의 3:2를 지우고, “부분 DB가 아니라 큰 삼각형의 전체 AB와 비교한다”는 메모를 남겼다. 수정된 식에서 달라진 부분은 숫자 계산이 아니라 대응변을 정하는 기준이었다.
검산은 같은 비례식을 그대로 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 학생은 3/5=6/10인지 확인했고, AD가 AB의 3/5이므로 DE도 BC의 3/5이어야 한다고 말로 설명했다. 또 DE는 큰 삼각형의 내부에 있는 작은 삼각형의 변이므로 BC보다 짧아야 한다는 조건도 대조했다. 구한 6cm는 10cm보다 짧으므로 도형의 위치와도 맞는다. 반면 처음 답한 15cm는 BC보다 길어 내부 선분이라는 조건과 맞지 않는다.
남은 부분을 묻는 새 조건에서 기준 적용하기
다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 질문의 대상을 바꾼다. 삼각형 ABC에서 D는 AB 위에 있고 E는 AC 위에 있으며 DE∥BC이다. 이번에는 DE=6cm, BC=10cm, AB=15cm일 때 DB를 구한다. 앞의 문제처럼 닮음비를 먼저 세울 수 있지만, 이번에 직접 구해지는 것은 남은 부분 DB가 아니라 전체 AB에 대한 부분 AD이다.
학생은 AD/AB=DE/BC=6/10=3/5라고 쓰고, AD/15=3/5에서 AD=9cm를 구한다. 그다음 AB 전체에서 AD를 빼서 DB=15-9=6cm라고 답한다. 확인할 때는 AD:AB=9:15=6:10으로 비가 일치하는지 살핀다. 다음 수업에서는 기존 풀이를 가린 채 이 문제의 조건만 제시하고, 학생이 “대응변은 작은 전체 AD와 큰 전체 AB이므로 AB=AD+DB를 먼저 구한다”는 이유를 도움 없이 말한 뒤 식을 작성하는지 확인한다. 중간에 멈추면 대응변 관계까지만 다시 보여 주고, 계산과 마지막 검산은 학생이 직접 남기게 한다.
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