부평 중등수학과외

학생은 표 A와 표 B를 보고 “A에서 5/1과 8/2가 달라 직선이 아니다.”라고 적었다. 표 A의 점은 (0,2), (1,5), (2,8)이고 표 B의 점은 (0,2), (1,5), (2,10)이다. 부평중등수학과외 수업에서는 이 답안을 바로 틀렸다고 고치지 않고, 학생이 어떤 기준으로 직선을 판단했는지 먼저 좁혀 확인한다.

절편이 2일 때도 y/x가 일정해야 할까?

교사는 학생에게 짧게 묻는다. “절편이 2일 때도 y/x가 일정해야 할까?” 학생이 표 A에서 5/1과 8/2를 비교한 이유를 말해 보게 하자, 원점을 지나야 y/x가 일정하다고 생각했는지, 아니면 일차함수라면 모든 점에서 y/x가 같아야 한다고 판단했는지가 드러난다. 이 질문에서 기준 자체를 고르지 못하면 정비례와 일반 직선의 관계를 다시 확인한다. 반대로 y/x를 비교하는 기준은 알고 있었지만 계산 결과만 잘못 적었다면 5/1과 8/2를 계산한 줄을 한 단계씩 살핀다.

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 가지 관계만 제시한다. y/x가 일정한 것은 정비례를 판단할 때 사용하는 기준이고, 절편이 0이 아닌 일반적인 직선에서는 x가 얼마나 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 비교해야 한다. 학생은 표 A에서 x가 0에서 1로, 1에서 2로 각각 1씩 증가하는 동안 y가 2에서 5, 5에서 8로 변한다는 사실에 표시한다. 이제 학생이 값의 비와 변화량의 비를 구별해 다음 줄을 직접 결정한다.

표 A의 변화량과 표 B의 꺾이는 증가량

학생은 표 A의 연속된 행을 다시 읽으며 x의 변화량을 먼저 적는다. 첫 구간은 Δx=1, Δy=5−2=3이고, 다음 구간은 Δx=1, Δy=8−5=3이다. 따라서 두 구간의 기울기는 각각 3/1=3이고, y절편은 x=0일 때 2이므로 식은 y=3x+2가 된다. 처음 풀이에서는 5/1과 8/2라는 값의 비를 사용했지만, 수정 풀이에서는 같은 간격으로 움직인 두 점 사이의 변화량을 비교했다는 점이 달라졌다.

학생은 표 B에도 같은 절차를 적용한다. 첫 구간의 변화량은 Δx=1, Δy=5−2=3이고, 다음 구간의 변화량은 Δx=1, Δy=10−5=5이다. x의 변화량이 같은데 y의 변화량이 3에서 5로 바뀌므로 세 점은 한 직선 위에 놓이지 않는다. 교사는 “이번 판단에서 y/x를 사용했니, 변화량의 비를 사용했니?”라고 다시 묻고, 학생이 “변화량의 비를 비교했다.”라고 답하게 한다.

식에 대입하지 않고도 달라지는 조건 확인하기

검산은 본풀이의 계산을 그대로 반복하지 않는다. 학생은 표 A의 세 점을 y=3x+2에 대입한다. x=0이면 y=2, x=1이면 y=5, x=2이면 y=8이므로 세 점이 모두 식을 만족한다. 표 B는 같은 식에 x=2를 넣었을 때 y=3×2+2=8이지만 실제 표의 값은 10이다. 즉 8≠10이므로 B는 그 직선의 점이 아니며, 표 A만 조건을 만족한다.

새 적용 문제에서는 점 (0,1), (2,5), (5,11)이 한 직선 위에 있는지 판단하고 식을 구한다. 이번에는 x 간격이 같지 않다. 학생은 y 증가량만 보지 않고 x 증가량에 대한 비를 적어야 한다. 첫 구간의 기울기는 (5−1)/(2−0)=4/2=2, 다음 구간의 기울기는 (11−5)/(5−2)=6/3=2이다. 두 기울기가 같고 x=0일 때 y=1이므로 식은 y=2x+1이다. x=0, 2, 5를 넣으면 y가 각각 1, 5, 11이 되어 세 점 모두 확인된다.

다음 수업에서 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 보여 주고 처음 답안과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 값의 비와 변화량의 비를 구별한 뒤 표 A와 B의 Δy/Δx를 직접 적는지 확인한다. 이어 x 간격이 다른 새 문제에서도 같은 기준을 스스로 선택하고, 두 구간의 기울기와 마지막 대입 검산을 식으로 남기는지가 교사가 확인할 근거가 된다.