산곡동 중등수학과외

학생이 표를 보자마자 연필을 들고 말했다. “y값이 계속 커지니까 둘 다 일차함수예요.” 교사는 바로 정답을 말하지 않고 표의 두 행을 가리켰다. “x가 1씩 늘 때 y는 몇씩 늘어났는지 적어 볼래?” 산곡동중등수학과외 수업에서 이번에 확인할 것은 y가 증가하는지만 보는 것이 아니라, 같은 x 변화에 대한 y의 증가량이 일정한지 직접 비교하는 행동이다.

표 A와 표 B에서 먼저 확인한 변화량

표 A에는 (x,y)=(0,2), (1,5), (2,8)이 있고, 표 B에는 (0,2), (1,5), (2,10)이 주어져 있다. 학생은 처음 풀이에 “둘 다 y가 커지므로 일차함수다”라고 적었다. y값이 증가한다는 사실 자체는 제대로 읽었다는 점을 먼저 확인했다. 다만 증가하는 방향만으로 세 점이 한 직선 위에 있는지 판단한 것이 처음 달라진 지점이었다.

교사는 짧게 물었다. “증가량 3과 5가 같은가?” 학생은 표 A에서 2에서 5로 갈 때 3, 5에서 8로 갈 때도 3이라고 적었다. 이어 표 B에서는 2에서 5로 갈 때 3, 5에서 10으로 갈 때 5라고 계산했다. 교사는 학생이 말로는 ‘증가량을 비교해야 한다’고 설명하는지, 실제 답안에도 3과 5를 적어 두었는지를 나란히 대조했다. 설명과 계산이 다르면 개념만의 문제가 아니라 수치를 옮겨 쓰는 과정도 따로 확인해야 하기 때문이다.

일정한 증가량을 식으로 연결하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 시범으로 보였다. “x가 1 증가할 때 y가 항상 3 증가한다면, x의 계수는 얼마일까?” 학생은 표 A의 변화량을 다시 확인한 뒤 기울기를 3이라고 적었다. x=0일 때 y=2이므로 y절편은 2라는 점도 표에서 찾아냈다. 따라서 학생이 직접 y=3x+2를 작성했다.

표 B에서는 y 변화량이 3, 5로 달라졌다. 학생은 처음의 ‘둘 다 커진다’는 기준을 지우고, 같은 x 증가에 대한 y 증가량이 일정하지 않으므로 세 점이 한 직선 위에 놓이지 않는다고 고쳐 썼다. 이때 교사는 “증가하는가?”와 “일정하게 증가하는가?”를 구별해 말하게 했다. 학생의 수정은 답만 바꾼 것이 아니라, 판단 기준을 변화량의 크기로 옮긴 데 의미가 있다.

대입으로 확인한 결론

수정한 식이 표 A의 세 점과 맞는지는 본풀이와 다른 방식으로 검산했다. y=3x+2에 x=0을 넣으면 y=2, x=1을 넣으면 y=5, x=2를 넣으면 y=8이 되어 세 점의 값이 모두 일치한다. 반면 같은 식에서 x=2일 때 나오는 값은 8이므로, 표 B의 점 (2,10)은 8≠10이다. 학생은 이 대입 결과를 근거로 A만 직선의 식 y=3x+2를 가지며 B는 한 직선 위의 자료가 아니라고 설명했다.

x 간격이 달라진 새 문제에 적용하기

조건을 바꾼 문제로 점 (0,1), (2,5), (5,11)이 한 직선 위에 있는지 판단하고 식을 구하게 했다. 이번에는 x가 1씩 같은 간격으로 증가하지 않으므로 y 증가량만 비교하면 안 된다. 학생은 먼저 첫 구간의 기울기를 (5−1)÷(2−0)=2, 다음 구간의 기울기를 (11−5)÷(5−2)=2로 적었다. 두 구간에서 x 증가량에 대한 y 증가량의 비가 같으므로 세 점은 한 직선 위에 있다. x=0일 때 y=1이므로 식은 y=2x+1이다.

학생은 새 식에 x=0, 2, 5를 차례로 대입해 y값이 1, 5, 11로 돌아오는지도 확인했다. 다음 수업에서는 대표 문제의 자료와 풀이를 미리 보이지 않은 상태에서, 학생이 시작하자마자 증가량의 크기 또는 x 증가량에 대한 비를 적는지 관찰한다. 이어 계산한 식이 각 조건과 맞는지 대입 근거까지 스스로 남기는지를 확인한다.