부평지구 중등수학과외

“나눗셈 결과가 나왔으면 바로 세 수를 적어도 될까?” 교사는 학생에게 먼저 물었다. 학생은 잠시 계산 과정을 바라보다가 “합을 구하는 식에서 나눈 값이 나오면 대입하면 된다”고 답했다. 교사는 곧바로 풀이를 대신 고치지 않고, “3÷3은 얼마인가?”, “정수는 어떤 수를 말하는가?”라고 나누어 질문했다. 학생이 3÷3은 1이라고 말하고 정수의 뜻도 설명한다면, 말로 알고 있는 내용과 실제 풀이에서 사용한 판단이 같은지 비교할 수 있다. 이처럼 부평지구중등수학과외 수업에서는 답만 맞았는지를 먼저 보지 않고, 계산 뒤 조건을 확인했는지까지 학생의 식과 설명을 나란히 놓고 확인한다.

1, 2, 3의 합과 이웃한 수의 차를 함께 보기

교사는 다음 문제를 제시했다. “연속한 세 정수의 합이 6이다. 세 정수를 구하여라.” 학생은 가장 작은 수를 x라고 생각했지만, 연속한 수라는 관계를 식으로 충분히 적지 않고 3x=3이라고 썼다. 이어서 x=1.5라고 계산한 뒤 세 수를 1.5, 2.5, 3.5로 적었다. 이때 학생이 나눗셈을 잘못한 것은 아니다. 3을 3으로 나누면 1이므로, 처음 계산식에서부터 무엇을 더해야 하는지 또는 어떤 조건을 반영했는지를 살펴봐야 한다.

교사는 학생의 첫 계산을 가리키며 “세 수의 합을 식으로 쓰면 왜 3x만 남을까?”라고 물었다. 학생이 연속한 세 수를 x, x+1, x+2로 써야 한다는 점을 말하지 못하거나, 이미 적은 1.5를 그대로 받아들이려 한다면 판단이 달라진 지점이 드러난다. 이어 “1.5, 2.5, 3.5는 정수인가?”, “서로 이웃한 수의 차는 얼마인가?”라고 확인한다. 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않고, 3÷3을 아는지, 정수의 뜻을 아는지, 알고도 답안에 옮기지 못했는지를 구분하는 과정이다.

합 조건과 정수 조건을 동시에 만족하도록 다시 쓰기

필요한 만큼만 설명하기 위해 교사는 먼저 1+2+3=6을 보여 주고, 이웃한 수의 차가 각각 1이라는 점을 표시했다. 그리고 “정수 조건과 합 조건을 동시에 만족해야 한다”고만 덧붙였다. 이어지는 식은 학생이 직접 완성하도록 했다. 학생은 가장 작은 수를 x라 두고, 연속한 세 정수를 x, x+1, x+2로 표현했다. 따라서 x+(x+1)+(x+2)=6이고, 괄호를 풀어 3x+3=6을 적었다. 양변에서 3을 빼면 3x=3, 다시 3으로 나누면 x=1이다.

학생은 처음 풀이의 3x=3을 그대로 출발점으로 삼되, 그 앞에 빠졌던 세 수의 관계와 +3을 보충했다. 그래서 가장 작은 수가 1이고, 세 수는 1, 2, 3이라고 직접 고쳐 썼다. 교사는 “나눗셈 결과가 정수인지 확인했니?”라고 다시 묻고, 학생이 x=1을 얻은 뒤 실제 세 수를 적어 정수 여부를 확인하게 했다. 계산 결과만 받아 적는 것이 아니라, 식에서 얻은 값이 문제의 조건에 맞는지 말로 설명하도록 한 것이다.

계산과 다른 방식으로 답을 검산하기

이번에는 원래 식을 다시 계산하지 않고 답 자체를 조건에 대조한다. 학생은 1+2+3을 계산해 6임을 확인하고, 1에서 2로, 2에서 3으로 갈 때의 차가 각각 1이라고 말한다. 세 수가 모두 정수이고 서로 이웃한 수라는 조건도 함께 충족된다. 처음 적은 1.5, 2.5, 3.5는 서로의 차는 1이지만 정수가 아니므로 문제의 조건을 모두 만족하지 못한다는 점도 비교할 수 있다. 이렇게 학생은 답을 얻은 뒤 합 조건과 수 사이의 관계를 별도로 확인한다.

이제 조건을 바꾼 문제를 제시한다. 연속한 정수의 간격 1을 연속한 홀수의 간격 2로 바꾸어, “연속한 세 홀수의 합이 15이다. 세 홀수를 구하여라”라고 묻는다. 학생은 가장 작은 수를 x라 두고 수 사이의 관계를 x, x+2, x+4로 표현해야 한다. 그러면 x+(x+2)+(x+4)=15, 즉 3x+6=15이므로 3x=9, x=3이다. 세 홀수는 3, 5, 7이고, 각 수가 홀수이며 차가 2, 합이 15인지 확인한다.

다음 수업에서는 원래 문제의 조건은 그대로 둔 채 풀이 부분만 가린 자료를 사용한다. 학생은 도움 없이 연속한 세 정수를 x, x+1, x+2로 나타내고, 나눗셈 결과와 세 수의 정수 여부를 확인한 뒤 그 근거를 혼자 설명해야 한다. 막히면 “정수 조건과 합 조건을 동시에 만족해야 한다”는 말까지만 듣고 이어지는 식과 판단은 직접 완성하게 하며, 마지막에는 1+2+3=6과 이웃한 수의 차가 각각 1이라는 검산을 사용해 원래 조건을 만족하는지 교사가 확인한다.