신용동 고등수학과외

오답에서 사라진 조건 찾기

“f(x)=(x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=7이다. lim(x→1)f(x)와 f(1)을 구하라.”라는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. “둘 다 7이다.” 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 먼저 계산보다 오답에서 사라진 조건을 찾는다. 식 아래에 붙은 x≠1과, 한 점에서 따로 정한 f(1)=7이 모두 남아 있는지 확인한다. 극한은 x=1에서의 함숫값을 그대로 묻는 것이 아니라, x가 1에 가까워질 때 주변 입력에서 함수가 어떤 값에 가까워지는지를 묻기 때문이다.

원인을 오답 하나만으로 확정하지 않기 위해 확인 질문을 던진다. “x가 1에 가까울 때 실제로 사용하는 식은 어느 부분인가?”, “왼쪽과 오른쪽에서 다가가도 같은 값이 되는가?”라고 묻고, 학생이 x=1을 직접 대입하지 않은 근방을 표시하게 한다. 이때 f(1)=7을 곧바로 극한이라고 생각한 것인지, 좌우에서 다가가는 값을 확인하지 않은 것인지 구분할 수 있다. 숫자 몇 개를 넣는 것은 방향을 살피는 보조 확인일 뿐이며, 구간 전체의 결론은 식의 변형과 성립 조건으로 설명해야 한다.

가까운 입력의 식과 한 점의 값을 분리하기

x≠1인 범위에서는 x²−1=(x−1)(x+1)이므로 f(x)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1이다. 약분은 분모가 0이 되는 x=1에서 하는 것이 아니라, x가 1에 가까우면서도 x≠1인 범위에서 수행한다. 따라서 왼쪽과 오른쪽 어느 쪽에서 다가가도 출력은 x+1의 값에 따라 2에 가까워진다. 여기서 교사는 결론을 대신 말하기보다 “이 식이 성립하는 입력 조건은 무엇이고, 그 조건에서 극한은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생은 직접 “극한은 2이고, 문제에서 지정한 f(1)은 7이다”라고 수정해 적는다.

정답은 lim(x→1)f(x)=2, f(1)=7이다. 한 점의 함수값을 7로 바꾸어도 x=1 주변에서 x+1로 나타나는 출력의 흐름은 달라지지 않으므로 이 극한은 바뀌지 않는다. 반대로 원래 식에 x=1을 대입하면 0/0이 나오는데, 0/0은 함수값이나 극한의 정답 자체가 아니라 식을 변형해야 함을 알려 주는 미정형이다. 그러므로 “대입했더니 7”이라는 판단과 “가까운 입력에서 2로 간다”는 판단을 한 줄에 섞지 않는다.

표현이 아니라 조건이 달라진 문제에 다시 적용하기

수정한 뒤에는 같은 기준을 다른 조건에 옮긴다. 풀이와 정답을 가린 채 문제와 검산 방법만 남긴다. “lim(x→1)(x²−1)/(x−1)을 구하라”에서 학생은 x=1을 직접 넣지 않고, x≠1인 근방에서 (x−1)(x+1)/(x−1)=x+1임을 표시한 뒤 극한을 2로 구성한다. 두 식이 x≠1인 근방에서 정확히 같으므로 그 범위의 극한도 같다는 점이 근거다. 이는 앞 문제의 f(1)=7을 지운 단순한 표현 변경이 아니라, 한 점의 함숫값을 따로 제시하지 않은 조건의 차이까지 읽는 연습이다.

마지막에는 문제 조건, 풀이에 필요한 식, 정답, 그리고 “0/0은 값이 아니다”라는 검산 기준만 남겨 다시 시작한다. 대입으로 끝내려 하면 가까운 점에서 사용하는 식과 그 점에서 따로 정한 값을 각각 적게 한다. 이렇게 극한은 근처의 출력, 함숫값은 해당 입력에서 정한 출력이라는 구분을 계산 과정에 남기면, 다른 함수에서도 조건을 놓치지 않고 판단할 수 있다.