신탄진동 중등수학과외

“내각 총합에서 이미 알려진 40°를 남길까요, 아니면 먼저 제거할까요?” 교사는 학생에게 이렇게 묻고, AB=AC인 삼각형 ABC에서 ∠A=40°일 때 ∠B와 ∠C를 구하는 문제를 제시한다. 신탄진동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 알려 주기보다, 학생이 알려진 각을 전체 합에서 어떻게 처리하는지 식으로 드러내게 한다.

밑각이 같다는 조건과 처음의 110°

학생은 AB=AC라는 조건을 보고 두 변이 같으므로 그 맞은편 각도 같다는 점은 알고 있었다. 그래서 ∠B와 ∠C를 같은 값으로 두고, “B=C=(180+40)/2=110°”라고 적었다. 여기서 틀린 부분은 B=C라고 둔 판단이 아니라, 내각 총합 180°에 이미 주어진 꼭짓각 40°를 더한 것이다.

교사는 학생의 말과 첫 계산을 나란히 확인했다. “삼각형의 세 내각을 모두 더하면 몇 도인가요?”라는 질문에 학생이 180°라고 답한 뒤에도 40°를 더했다면, 개념을 모른다고 단정하지 않고 계산을 시작한 지점에서 판단이 달라졌다고 기록할 수 있다. 이어 “40°는 세 각 중 하나인가요, 아직 남은 각인가요?”라고 짧게 묻는다. 학생이 ∠A라고 표시한 뒤에도 식에서 더하는지 확인하면서 원인 후보를 좁힌다.

180°에서 알려진 각을 제거하는 수정

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고, “남은 두 각은 180°에서 40°를 뺀 값이다”라고만 설명한다. 또한 40+70+70=180°이라는 대조 계산과 AB=AC의 맞은편 각 C와 B가 같다는 관계를 보여 준다. 학생은 그다음 식을 직접 완성해야 한다.

학생은 처음의 식에서 더하기 기호를 지우고, 밑각의 관계를 먼저 적는다. B=C이고, 세 내각의 합에서 알려진 ∠A를 제외하면 B+C=180°-40°=140°이다. 두 밑각이 같으므로 남은 140°를 2로 나누어 B=C=70°라고 다시 작성한다. 처음 풀이와 달라진 부분은 같은 각이라는 조건을 버린 것이 아니라, 알려진 40°를 총합에 더하지 않고 남은 합에서 제외한 점이다.

검산은 같은 계산을 그대로 반복하지 않도록 두 가지로 나눈다. 먼저 두 밑각의 합은 70°+70°=140°이므로 ∠A를 더하면 40°+140°=180°이다. 다음으로 변의 관계를 확인한다. AB와 AC가 같으므로 각각의 맞은편 각 C와 B가 같아야 하며, 실제로 두 각이 모두 70°로 일치한다. 학생은 답만 읽지 않고 이 두 근거를 직접 말한다.

꼭짓각이 아닌 외각으로 조건을 바꾸기

새 문제에서는 조건의 위치를 바꾼다. AB=AC인 삼각형 ABC에서 B의 이웃한 외각이 110°일 때 세 내각을 구하는 문제다. 이번에는 꼭짓각 40°를 바로 주지 않지만, 같은 두 변의 맞은편 각이 같다는 기준은 유지된다. 먼저 B의 내각과 외각은 한 직선 위의 이웃한 각이므로 ∠B=180°-110°=70°이다.

학생은 AB=AC를 다시 확인하고 ∠B=∠C라고 설명한다. 따라서 ∠C=70°이고, 세 내각의 합을 이용하면 ∠A=180°-70°-70°=40°이다. 외각과 내각의 합은 70°+110°=180°이고, 세 내각도 40°+70°+70°=180°이므로 두 조건이 모두 맞는다.

다음 확인에서는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생이 도움 없이 알려진 내각을 총합에서 빼고 나눈 뒤, “AB=AC이므로 B와 C가 같다”는 근거를 함께 말하는지 확인한다. 막히는 경우에도 “남은 두 각은 180°에서 40°를 뺀 값이다”까지만 제공하고, 140°를 2로 나누는 식과 40+70+70=180°이라는 검산은 학생이 직접 적는지 기록한다.