신탄진동 고등수학과외

삼각함수의 그래프와 구간 내 해를 다룰 때는 공식으로 기억한 값을 말하는 것과, 그 값을 실제 조건에 대입해 답으로 선택하는 것이 다를 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 문제의 구간과 등식의 의미를 따로 표시한 뒤 두 내용을 끝까지 대조하게 한다. 예를 들어 “0<x<2π에서 cos x=1의 해를 구하라”는 문제라면, cos x=1이 되는 각을 떠올리는 것만으로는 충분하지 않다. 해가 열린 구간 안에 들어오는지 확인해야 한다.

끝점을 답에 넣기 전에 구간 조건 표시하기

이렇게 답했다면 어떤 판단이 있었는지 살펴본다. cos x=1이 되는 각으로 0과 2π를 알고, 이를 그대로 해로 적었다면 값 자체를 기억한 과정과 주어진 구간에 포함되는지를 확인한 과정이 섞인 것이다. 학생은 먼저 문제의 조건 0<x<2π에서 양 끝의 부등호가 모두 엄격하다는 점을 직접 동그라미 치거나 표시한다. 이어 자신이 처음 쓴 식과 답을 나란히 놓고, x=0은 0보다 큰지, x=2π는 2π보다 작은지 각각 대조한다. 두 후보 모두 경계에 놓여 있으므로 열린 구간 안에 있지 않다는 사실을 계산으로 확인한다.

그래프의 교점과 일반해를 함께 대조하기

교사는 y=cos x 그래프와 수평선 y=1을 같은 좌표평면에 그리게 한다. 각의 단위는 별도 표시가 없으므로 라디안으로 읽고, 0부터 2π까지 한 주기를 살핀다. 이 범위에서 그래프가 y=1에 닿는 x값은 양 끝의 0과 2π이다. 같은 점을 주기적으로 표현한 것이지만 문제는 점의 개수가 아니라 구간 안에 속하는 x값을 묻는다. 따라서 경계까지 포함한 그림과 양 끝을 제외한 그림을 구분해야 한다. 학생에게는 “교점이 있다는 사실”과 “그 교점의 x값이 허용 범위에 들어오는가”를 각각 말하게 하고, 한 해만 기억한 것인지 주기와 축척을 그래프에 적용하지 못한 것인지 질문으로 확인한다.

학생이 직접 수정하면 cos x=1의 해는 x=2kπ로 나타낼 수 있고, 0<x<2π를 만족하는 정수 k가 있는지 살핀다. k=0이면 x=0, k=1이면 x=2π이지만 둘 다 열린 구간의 끝점이다. 그 사이의 정수 k에서는 해당하는 x가 나오지 않는다. 단위원으로 확인할 때도 cos x는 x좌표이므로 내부의 각에서는 x좌표가 1보다 작고, x좌표가 1이 되는 위치는 오른쪽 끝점뿐이다. 그러므로 정답은 해 없음이다.

표현을 바꾼 조건에서 같은 기준 다시 쓰기

이제 풀이와 정답을 가린 자료를 두고 0≤x≤2π에서 cos x=1의 해를 모두 구하게 한다. 식은 같지만 이번에는 양 끝의 부등호가 포함 조건으로 바뀌었다는 점을 먼저 표시한다. 학생은 x=0과 x=2π를 대입해 두 값이 모두 정의역에 포함되고 cos x의 값도 1임을 확인한다. 따라서 이 경우의 정답은 0, 2π이다. 앞 문제의 결과를 기계적으로 반복하는 것이 아니라, 열린 끝점에서는 제외하고 닫힌 끝점에서는 포함한다는 기준을 조건에 맞게 조정해야 한다.

마지막에는 학생이 “그래프의 y=1 교점을 찾고, 각 x값이 주어진 구간에 포함되는지 확인한 뒤 답을 정한다”는 근거를 다시 적는다. 다음 확인에서도 문제 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작한다. 기본각만 적는 데 그치면 단위원이나 한 주기 그래프에 두 번째 교점과 양 끝점을 표시하게 하며, 표현만 바뀐 문제인지 실제 구간 조건이 달라진 문제인지 먼저 구별하게 한다. 이렇게 해야 새로운 삼각함수 문제에서도 기억한 해보다 정의역과 구간 조건을 우선해 판단할 수 있다.