용현지구 중등수학과외

“AB와 DE가 같은 길이인가?”에서 시작한 질문

“닮음과 합동을 구분해 배율을 적용해야 하는 이유가 무엇일까?” 교사는 학생에게 먼저 이렇게 물었다. 학생은 △ABC∽△DEF에서 A↔D, B↔E, C↔F라는 조건을 읽고, AB=6cm, BC=8cm, DE=9cm일 때 EF를 구하는 문제를 보고 있었다. 용현지구중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제 조건을 나란히 놓고, 처음 달라진 판단이 어디에서 생겼는지 확인하기로 했다.

학생은 답안에 “대응변이므로 EF=8cm”라고 썼다. 대응 관계 자체를 확인하려 한 점은 맞았다. BC와 EF가 서로 대응한다는 사실도 놓치지 않았다. 그러나 대응변이라는 이유만으로 두 변의 길이가 같다고 판단했다. 교사는 곧바로 풀이 전체를 대신 고치지 않고 “AB와 DE가 같은 길이인가?”라고 물었다. 학생이 문제의 수치를 다시 읽어 AB는 6cm, DE는 9cm라고 말하는지, 그 설명과 처음 적은 EF=8cm가 서로 맞는지를 나란히 살폈다. 두 길이가 다르다는 사실을 말하면서도 EF를 8cm라고 쓴다면, 합동처럼 취급한 판단이 첫 번째 원인 후보로 좁혀진다.

대응변의 위치와 크기를 분리해 읽기

교사는 종이에 AB와 DE를 한 줄에 놓고, BC와 EF를 그 아래에 대응시켰다. 이어서 6과 9를 비교해 AB:DE=6:9=2:3이라고만 시범을 보였다. 닮음은 모양이 같다는 뜻이지만 크기까지 같다는 뜻은 아니므로, 대응변의 위치는 같게 연결하되 길이는 일정한 배율로 달라질 수 있다고 설명했다. 제공한 설명은 “닮음은 모양이 같고 크기는 다를 수 있다”는 범위에서 멈췄다. 이후의 비와 계산은 학생이 직접 완성해야 했다.

학생은 처음의 “EF=8cm”를 지우고, “AB:DE=6:9=2:3”이라고 다시 적었다. 그런 다음 BC와 EF가 대응하므로 “BC:EF=2:3”을 세웠다. 8:EF=2:3에서 2EF=24가 되고, 따라서 EF=12cm라고 구했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 대응변을 찾는 과정이 아니라, 대응한다고 해서 같은 길이라고 두지 않고 닮음의 배율을 적용한 점이었다. 학생은 “AB가 DE보다 짧으므로 BC도 EF보다 짧아야 하고, 8cm에 3/2를 곱한다”고 자신의 선택 근거를 말로 덧붙였다.

같은 계산을 반복하지 않는 비 검산

정답을 확인할 때 교사는 방금 구한 식을 그대로 다시 계산하게 하지 않았다. 대신 두 쌍의 대응변이 같은 비를 이루는지 비교하게 했다. 6/9=2/3이고, 수정한 EF=12cm를 대입하면 8/12=2/3이다. 따라서 6/9=8/12=2/3으로 대응변의 비가 같고, 12cm라는 결과가 원래 조건과 맞는다. 이 검산은 “8에 어떤 수를 곱했는가”를 되풀이하는 방식이 아니라, 두 삼각형의 크기 관계가 일정한지 확인하는 방법이다.

꼭짓점 순서가 바뀐 새 문제에서 기준 유지하기

다음에는 숫자는 그대로 두고 닮음 기호 뒤의 꼭짓점 순서를 바꾼다. 문제는 “△ABC∽△FDE이며 A↔F, B↔D, C↔E이다. AB=6cm, BC=8cm, FD=9cm일 때 DE를 구하라”이다. 눈에 익은 문자끼리 자동으로 대응시키면 안 되고, 닮음 기호에 적힌 순서와 제시된 대응을 먼저 확인해야 한다. 이때 AB↔FD, BC↔DE이므로 배율은 9/6=3/2이다. 따라서 DE=8×3/2=12cm가 된다. 문자 순서가 달라졌지만, 대응변의 비를 세워 배율을 적용한다는 원리는 유지된다.

다음 수업에서는 학생이 도움 없이 이 새 문제에서 A와 F, B와 D, C와 E의 대응을 먼저 표시하고, AB↔FD와 BC↔DE를 근거로 배율을 세운 뒤 DE=12cm를 설명하는지 확인한다. 정답만 적는지가 아니라 “닮음이므로 길이는 같다고 두지 않고 9/6의 배율을 적용했다”고 말하는지가 관찰 근거가 된다. 필요할 때 교사는 “닮음은 모양이 같고 크기는 다를 수 있다”까지만 다시 제시하고, 이어지는 식과 판단은 학생이 완성하게 한다.