인천문학동 중등수학과외

학생은 먼저 “3/n이 유한소수가 되도록 n을 6, 9, 12 중에서 모두 고르라”는 문제를 받았다. 세 분수를 바로 소수로 바꾸기보다, 약분한 뒤 분모를 확인해야 한다는 조건을 남겨 두고 풀이를 시작했다. 학생은 3/6=1/2, 3/9=1/3, 3/12=1/4로 각각 약분한 뒤, 기약분수의 분모에 소인수 2와 5만 남는 경우를 찾았다. 따라서 1/2와 1/4는 유한소수이고 1/3은 유한소수가 아니므로 n=6, 12를 골랐다. 인천문학동중등수학과외 수업에서는 이처럼 분모 후보를 고를 때도 약분 뒤의 분모를 기준으로 판단했는지 확인한다.

3/6, 3/9, 3/12에서 약분 뒤 분모 비교하기

교사는 세 결과를 나란히 적게 한 뒤 “어느 분수의 분모에 3이 남아 있나요?”라고 물었다. 학생은 1/3을 가리키며 3이 남아 있으므로 유한소수가 되지 않는다고 설명했다. 반면 1/2와 1/4의 분모에는 소인수 2만 있다는 점을 확인했다. 여기서 중요한 변화는 한 분수의 유한소수 여부를 판정하는 데서, 여러 분모 후보 중 조건을 만족하는 값을 선택하는 것으로 판단 대상이 바뀌었다는 점이다. 학생이 숫자만 보고 6과 12를 고른 것이 아니라 약분한 결과를 근거로 말하는지 살핀다.

21/60=21/20에서 처음 달라진 판단

이제 비교할 대표 문제는 “21/60을 기약분수로 나타내고 유한소수인지 판단하여 소수로 쓰라”이다. 학생은 처음에 21/60=21/20=1.05라고 적었다. 60을 3으로 나누어 20으로 만든 사실은 보이지만, 분자 21에는 같은 나눗셈을 적용하지 않았다. 교사는 곧바로 전체 풀이를 대신 고치지 않고 “분자와 분모를 같은 수로 나눴나요?”라고 물었다. 학생이 약분은 위아래에 같은 공약수를 적용해야 한다는 기준을 말하지 못한다면 개념을 다시 확인하고, 기준은 말하지만 식만 틀렸다면 각 줄의 계산을 따로 살핀다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 말로 고른 기준과 실제로 쓴 식을 나누어 확인하는 장면이다.

값을 유지하는 한 단계와 학생의 수정 풀이

교사는 60을 3으로 나눌 때 분자도 함께 나누어야 값이 유지된다는 한 단계만 보여 주었다. “21도 3으로 나누면 얼마인가요?”라는 질문에 학생이 7이라고 답한 뒤, 다음 줄은 직접 작성하게 했다. 학생은 21/60=7/20으로 고쳐 썼고, 7과 20이 서로소이므로 기약분수라는 점을 확인했다. 이어 분모를 100으로 만들기 위해 7/20=35/100=0.35라고 계산했다. 처음 풀이의 21/20은 분모만 바뀌었지만, 수정 풀이에서는 같은 공약수 3을 분자와 분모에 모두 적용했다는 차이가 분명하게 드러난다.

0.35의 역산 검산과 다음 독립 적용

수정한 답은 같은 소수 계산을 반복하지 않고 역산으로 확인했다. 0.35×60=21이므로 원래 분수의 값과 일치한다. 또한 7/20의 분자와 분모는 서로소이고, 분모는 20=2²×5이므로 유한소수라는 판정도 조건에 맞는다. 다음 문제에서는 다시 3/n이 유한소수가 되도록 n을 6, 9, 12 중에서 고르게 하되, 학생이 도움 없이 각 분수를 먼저 약분하고 약분에 같은 공약수를 위아래에 적용한 뒤 분모의 소인수를 비교하게 한다. 교사는 학생이 3/6=1/2, 3/9=1/3, 3/12=1/4를 근거로 n=6, 12를 선택하는지, 그리고 3이 남은 1/3을 제외하는 이유를 말하는지 확인한다.