학익동 중등수학과외

정답과 별개로 성질을 설명해야 하는 이유

“답이 맞아 보일 때도, 사용한 성질이 정말 맞는지 설명할 수 있어야 할까?” 교사는 이렇게 묻고 중2 학생에게 직사각형의 대각선 문제를 건넨다. 학익동중등수학과외 수업에서는 결과만 확인하지 않고, 학생이 어떤 성질을 근거로 식을 세웠는지 먼저 말하게 한다. 학생은 문제를 읽은 뒤 직사각형 ABCD의 대각선 AC와 BD가 O에서 만난다는 조건을 확인하고, AC=18cm라는 수를 표시한다. 그러나 풀이를 시작하기 전에 “대각선이 수직이면 길이를 반으로 나눌 수 있으므로 BO=9cm”라고 설명한다. 교사는 곧바로 틀렸다고 단정하지 않고, 학생이 말로 알고 있는 도형의 성질과 종이에 적은 계산이 같은지 비교하기로 한다.

“가로와 세로가 달라도 대각선이 수직인가?”

교사는 오답의 문장을 가리키며 짧게 묻는다. “가로와 세로가 다른 직사각형에서도 두 대각선이 수직일까?” 학생은 잠시 직사각형 모양을 그린 뒤, 대각선이 만나는 모습을 살펴본다. 이 질문은 학생이 직사각형의 대각선에 관한 여러 성질을 한꺼번에 섞었는지 확인하기 위한 것이다. 학생이 “직사각형의 대각선은 길이가 같고 서로 이등분한다”고 말한다면, 그 설명과 처음 적은 “수직이라서”라는 계산 근거 사이에 차이가 있음을 알 수 있다. 반대로 말로도 수직이라고 답한다면, 도형의 종류에 따른 성질을 구분하는 과정부터 다시 확인해야 한다. 따라서 BO=9cm라는 숫자만 보고 원인을 하나로 확정하지 않고, 말로 설명한 기준과 실제로 적은 계산을 나란히 대조한다.

9cm를 만든 근거는 수직이 아니라 이등분

교사는 학생의 풀이를 전부 대신 고치지 않고, 한 단계만 표시한다. “9cm가 나온 이유는 수직일까, 이등분일까?” 학생이 AC=18cm를 O가 나눈다는 점을 다시 확인하도록 하면서, 직사각형의 대각선은 서로 길이가 같고 서로 이등분한다는 성질을 제시한다. 수직이라는 관계는 대각선이 직각으로 만나는지에 대한 설명이고, 한 대각선의 길이를 절반으로 나누는 근거가 아니다. 학생은 이 차이를 말로 설명한 다음, 문제의 나머지 풀이를 직접 다시 쓴다.

학생의 수정 풀이는 다음과 같다. 직사각형의 대각선은 길이가 같으므로 BD=AC=18cm이다. 또 두 대각선은 서로 이등분하므로 O는 AC와 BD의 중점을 이룬다. 따라서 BO=BD÷2=18÷2=9cm이다. 처음 풀이와 달라진 부분은 답의 숫자가 아니라 그 숫자를 정당화한 성질이다. 학생은 “BO=9cm인 이유는 대각선이 수직이어서가 아니라 BD가 AC와 같은 18cm이고 O가 BD를 이등분하기 때문”이라고 직접 설명한다.

길이 관계를 다른 방식으로 검산하고 도형 종류 판단하기

계산을 그대로 반복하지 않기 위해 학생은 선분의 관계로 답을 확인한다. 대각선이 서로 이등분하므로 AO=BO=CO=DO=9cm이고, 따라서 BO+OD=9+9=18cm=AC이다. 구한 BO와 BD가 원래 조건에 맞는지 확인하면서, 수직이라는 말을 검산 근거로 사용하지 않는다. 교사는 마지막으로 조건의 방향을 바꾼 적용 문제를 제시한다. “평행사변형의 두 대각선 길이가 서로 같다. 이 도형이 반드시 직사각형인지, 반드시 정사각형인지 각각 판단해 보자.” 학생은 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이라고 판단할 수 있지만, 네 변의 길이가 모두 같다는 조건은 없으므로 정사각형이라고는 할 수 없다고 쓴다. 실제로 가로 2, 세로 3인 직사각형은 두 대각선의 길이가 같지만 정사각형은 아니다. 다음 문제에서는 학생이 도움 없이 도형의 종류를 먼저 판단하고, 사용한 성질의 타당성을 설명한 뒤 계산 결과가 조건과 맞는지 검산 근거를 남기는지를 확인한다.