용호동 중등수학과외

학생은 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10의 중앙값을 구하는 문제에서 “세 번째 7과 네 번째 4의 평균은 5.5이므로 정렬은 필요 없다”라고 적었다. 용호동중등수학과외 수업에서는 이 답안의 계산 결과만 보고 곧바로 원인을 단정하지 않고, 학생이 가운데를 어떤 기준으로 선택했는지부터 확인한다. 짝수 개 자료의 중앙값은 입력된 순서의 가운데가 아니라 크기순으로 배열했을 때 가운데에 놓이는 두 값으로 정해야 하기 때문이다.

입력 순서의 가운데와 크기순의 가운데

교사는 학생에게 자료의 순서를 9, 7, 2, 10, 4, 4로 바꾸어 제시하며 짧게 묻는다. “이번에도 가운데 두 값을 골라 볼까?” 학생이 세 번째 2와 네 번째 10을 골라 평균을 내는지, 또는 처음 답과 같은 5.5를 유지하는지 관찰한다. 같은 자료를 순서만 바꾸었는데 답이 달라진다면, 학생은 중앙값의 위치를 크기순이 아니라 입력 순서로 판단하고 있을 가능성이 드러난다. 반대로 질문에는 정렬이 필요하다고 말하면서 계산 줄에는 원래 순서의 값을 적는다면, 말로 알고 있는 기준과 실제 풀이 행동을 나누어 확인해야 한다.

교사는 “작은 수부터 놓으면 어떻게 될까?”라고 묻고, 답안 옆에 크기순이라는 표시만 남긴다. 설명은 한 단계로 제한한다. 중앙값은 자료가 적힌 순서가 아니라 값의 크기를 비교해 정렬한 뒤 위치를 정하며, 우연히 같은 값이 나와도 그 기준은 바뀌지 않는다. 학생은 교사가 전체 풀이를 대신 쓰기 전에 원자료와 정렬된 자료를 구분해 직접 다시 배열한다. 이 과정에서 정렬하지 않고 가운데를 선택한 것이 단순한 계산 실수인지, 위치 기준을 혼동한 것인지 질문과 계산 줄을 함께 보며 판단한다.

학생이 직접 고쳐 쓴 5.5의 근거

학생은 원자료의 입력 순서와 크기순 배열을 구분해 다음과 같이 수정한다. 2, 4, 4, 7, 9, 10으로 정렬하고, 짝수 개 자료이므로 가운데 두 값인 4와 7을 선택한다. 따라서 중앙값은 (4+7)÷2=11÷2=5.5이다. 처음 풀이에서도 7과 4의 평균을 계산한 부분 자체는 5.5라는 값을 얻었지만, 그 두 수를 선택한 근거가 입력 순서의 세 번째와 네 번째라는 점이 달랐다. 수정된 풀이에서는 먼저 크기순 배열을 만들고, 그 배열의 가운데 두 위치를 확인했다는 점이 핵심이다.

검산은 같은 평균을 다시 계산하는 방식으로 끝내지 않는다. 5.5를 기준으로 정렬된 자료를 나누면 앞의 세 값 2, 4, 4는 모두 5.5 이하이고, 뒤의 세 값 7, 9, 10은 모두 5.5 이상이다. 즉 5.5는 가운데 두 값 4와 7 사이에 놓인다. 이 위치 관계가 정렬된 배열과 일치하므로 답 5.5가 중앙값의 조건을 만족하는지 다른 관점에서 확인할 수 있다. 만약 입력 순서만 바꾸어 9, 7, 2, 10, 4, 4로 적어도 정렬 결과는 동일하므로 중앙값 역시 달라지지 않아야 한다.

자료 수가 일곱 개가 되었을 때의 변화

이제 학생은 정렬된 자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100 한 개를 추가했을 때의 중앙값을 구한다. 새 자료는 2, 4, 4, 7, 9, 10, 100으로 정렬된다. 이번에는 자료의 개수가 짝수에서 홀수로 바뀌었으므로 가운데 두 값의 평균을 구하지 않고, 일곱 값 중 네 번째 값을 선택한다. 네 번째 값은 7이므로 중앙값은 7이다. 100은 가장 큰 값이라 끝에 들어가지만, 핵심 변화는 큰 수의 위치보다 자료 개수가 홀수로 바뀌어 가운데가 한 자리로 정해졌다는 데 있다. 학생은 짝수일 때와 홀수일 때의 선택 기준을 구분해 말해야 한다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10을 먼저 크기순으로 배열하고 짝수 개의 가운데 두 값을 스스로 표시하게 한다. 이어 100을 추가한 일곱 개 자료에서는 네 번째 값을 찾아야 한다. 교사는 계산 결과만 보지 않고, 학생이 입력 순서와 크기순을 구분해 적는지, “중앙값은 크기순 위치로 정한다”는 이유를 도움 없이 말하는지 확인한다. 막히면 그 문장까지만 다시 제시하고 다음 배열과 계산은 학생이 직접 완성하게 한다.