용호동 고등수학과외

절댓값이 포함된 방정식·부등식을 다룰 때는 계산식을 바로 외우기보다 수직선에서 조건이 가리키는 범위를 먼저 표시해야 합니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음과 같은 예시를 놓고, 한 방향만 남긴 풀이가 어떤 정보를 빠뜨렸는지 확인합니다. 문제는 실수 x에 대해 |x−2|=3을 풀라는 것입니다. 중심은 2이고 거리는 3이므로, 수직선에서 2의 오른쪽과 왼쪽에 각각 같은 거리를 표시해야 합니다.

오른쪽 경우만 남긴 풀이에서 빠진 조건

이렇게 답했다면 풀이에는 x−2=3, 따라서 x=5라고만 적혀 있을 수 있습니다. x=5는 실제로 |5−2|=3을 만족하지만, 이것은 중심 2의 오른쪽에 있는 위치 하나만 찾은 결과입니다. 절댓값의 값은 안쪽 식의 부호와 관계없이 거리를 뜻하므로 왼쪽 위치도 함께 살펴야 합니다. 이 오답 하나만으로 개념을 모른다고 단정하지 않고, “2에서 거리가 3인 수가 오른쪽에만 있는가?”라고 확인합니다. 학생이 수직선에 2를 표시하고 양쪽으로 세 칸씩 직접 표시하는지, 또는 x−2가 음수가 되는 경우를 떠올리는지 관찰합니다.

거리의 두 방향을 식으로 복원하기

중심 2에서 오른쪽으로 3만큼 간 위치는 5이고, 왼쪽으로 3만큼 간 위치는 −1입니다. 따라서 식은 x−2=3 또는 x−2=−3으로 나뉘며, 학생은 각각 계산하여 x=5 또는 x=−1을 얻습니다. 두 값을 원래 식에 대입하면 |5−2|=3, |−1−2|=3이므로 모두 조건을 만족합니다. 여기서 수치 대입은 두 해를 확인하는 검산이고, 두 위치가 생기는 이유는 절댓값이 수직선에서의 거리를 나타내며 거리는 방향을 구별하지 않기 때문입니다. 학생이 “2에서 양쪽으로 3만큼 떨어진 두 수를 찾았다”고 문장으로 정리하면 계산과 의미가 연결됩니다.

조건을 남긴 상태에서 다시 적용하기

다음에는 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작합니다. 문제는 실수 x에 대해 |x−2|=−3을 풀라는 것입니다. 먼저 학생이 같은 기준으로 |x−2|를 거리로 해석하고, 어떤 실수에서도 절댓값은 0 이상이라는 조건을 직접 표시하게 합니다. 왼쪽 값의 범위가 0 이상인데 오른쪽은 −3이므로 두 값은 같을 수 없고 해는 없습니다. 이때 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 오른쪽 조건 자체가 3에서 −3으로 달라졌음을 구별해야 합니다. 이후 원래 문제를 다시 제시하되 해설을 가린 채 “2에서 거리가 3인 수가 오른쪽에만 있는가?”에 답하게 하고, 양쪽 위치를 표시한 뒤 두 식을 스스로 완성하는지 확인합니다. 한 방향만 적으면 중심의 반대편을 다시 표시해 누락된 해를 찾아보게 합니다.