용호동 수학과외

둘레 26cm 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “가로가 세로보다 3cm 길고, 직사각형의 둘레가 26cm일 때 세로는 13cm, 가로는 16cm다.” 먼저 답의 숫자만 보고 원인을 단정하지 않고, 어떤 조건을 사용해 이 수를 정했는지 살펴봅니다. 세로 13cm와 가로 16cm는 차이가 3cm라는 조건은 만족하지만, 직사각형의 둘레는 네 변의 길이를 모두 더한 값입니다. 따라서 2×(13+16)=58cm가 되어 주어진 둘레 26cm와 맞지 않습니다. 길이의 차이만 맞춘 뒤 둘레 조건을 빠뜨렸거나, 둘레를 두 변의 합으로 바꾸는 과정에서 잘못 판단했을 가능성을 확인할 필요가 있습니다.

두 조건을 두 미지수에 연결하기

교사는 가로와 세로를 각각 하나의 미지수로 두고, 문제의 두 조건이 각각 어떤 식이 되는지 함께 정리합니다. 가로를 xcm, 세로를 ycm라 하면 가로가 세로보다 3cm 길다는 조건은 x-y=3입니다. 둘레는 가로와 세로가 각각 두 번씩 들어간 2(x+y)이므로, 2(x+y)=26에서 x+y=13을 얻습니다. 여기서 13은 세로의 길이가 아니라 가로와 세로를 한 번씩 더한 값입니다. 이처럼 두 종류의 미지수에 서로 독립적인 두 조건을 대응해야 두 길이를 정할 수 있습니다. 학생이 이 설명을 바로 말로 정리하기 어렵다면 교사가 먼저 둘레 식을 2로 나누는 부분을 함께 처리하고, 차이 식을 세우는 단계부터 다시 시도하게 합니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 처음 답에서 세로를 13cm로 정했던 판단을 바꾸어, 13은 두 변의 합이라는 점을 문제 조건과 연결합니다. 그러면 x+y=13, x-y=3이 됩니다. 두 식을 더하면 2x=16이므로 x=8이고, x+y=13에 대입하면 y=5입니다. 따라서 가로는 8cm, 세로는 5cm입니다. 가로가 세로보다 3cm 길다는 조건은 8-5=3으로 확인되고, 둘레도 2(8+5)=26cm가 되어 처음 주어진 값과 일치합니다. 수정 풀이를 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하면, 학생이 단순히 풀이 순서를 따라 쓴 것인지 둘레와 길이 차이를 실제로 연결한 것인지 구분할 수 있습니다. 막히는 지점이 식을 세우는 단계인지 계산 단계인지에 따라 설명의 양을 조절하며, 다른 방식으로 풀더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이 방법을 새 문제에 적용해 봅니다. 직사각형의 둘레가 34cm이고 가로가 세로보다 5cm 길다면, 둘레를 2로 나누어 가로와 세로의 합은 17cm가 됩니다. 가로를 xcm, 세로를 ycm라 하면 x+y=17, x-y=5이고, 두 식을 더해 2x=22이므로 가로는 11cm, 세로는 6cm입니다. 11-6=5이고 2(11+6)=34이므로 두 조건을 모두 만족합니다. 추가로 둘레가 20cm일 때 가로와 세로의 합도 20cm인지 묻는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 두 변이 각각 두 번씩 들어가므로 합은 10cm이며, 4cm와 6cm라면 2×(4+6)=20cm입니다. 다음 확인에서는 학생이 기본 문제의 정답을 가린 상태에서 조건만 보고 두 식을 세우는지, 풀이 근거를 설명하는지, 새 둘레와 길이 차이에도 같은 구조를 적용하는지를 살펴봅니다.