운서동 중등수학과외

“두 자연수의 최대공약수가 18이다. 두 수의 양의 공약수를 모두 구하라. 두 자연수 자체는 정하지 않아도 된다.” 학생은 이 문제를 읽고 18의 약수를 적으려다 잠시 멈췄다. 두 자연수의 값이 주어지지 않았는데도 공약수를 정할 수 있는지 판단해야 했기 때문이다. 교사는 이 조건을 그대로 남겨 두고, 먼저 실제 수가 주어진 문제에서 학생이 공통 인수를 어떻게 찾는지 확인하기로 했다.

24와 36을 소인수로 나누어 보는 장면

비교할 문제는 “24와 36의 최대공약수와 모든 양의 공약수를 구하라”이다. 학생은 답안에 최대공약수=2×3=6이라고 썼다. 2와 3이 두 수에 공통으로 들어간다는 점은 찾아냈지만, 같은 소수가 몇 번 반복되는지는 아직 식에 반영하지 않았다. 따라서 답만 보고 계산을 못 했다고 단정하지 않고, 공약수의 목록을 만들 때 어떤 수를 제외했는지 확인했다.

교사는 짧게 물었다. “12도 두 수를 나누는가?” 학생은 24÷12=2, 36÷12=3이라고 말했지만, 처음 쓴 식에는 12가 만들어지는 과정이 없었다. 교사는 말로 설명한 기준과 종이에 적은 계산을 나란히 대조했다. 나눗셈 자체는 맞았으므로 단순 계산 실수인지, 반복되는 공통 인수를 빠뜨린 것인지 구분할 수 있었다.

반복된 2를 포함해 학생이 직접 고쳐 쓰기

교사는 소인수분해를 한 단계만 시범으로 보였다. 24=2³×3, 36=2²×3²으로 나타내면 두 분해에 2×2가 모두 들어 있다. 이제 학생이 공통 소수의 개수까지 비교해 곱하도록 기다렸다. 학생은 두 식에서 2는 두 개, 3은 한 개까지 공통이라고 표시한 뒤, 최대공약수=2²×3=12라고 다시 썼다.

이어 학생은 최대공약수의 약수를 이용해 모든 양의 공약수를 정리했다. 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12라고 적고, 처음 풀이의 2×3에는 반복된 2 하나가 빠져 있었다고 설명했다. 처음부터 식을 대신 완성해 주지 않고, 누락된 인수의 개수를 표시한 뒤 나머지 계산을 학생이 이어서 하게 한 것이 핵심이었다.

대입이 아닌 약수 관계로 결과 확인하기

수정한 답은 먼저 원래 조건과 대조했다. 24÷12=2, 36÷12=3이므로 12는 두 수의 공약수이고, 두 수의 소인수분해에서 공통으로 취할 수 있는 인수의 곱도 2²×3=12이다. 또 24와 36의 공약수 목록이 12의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 12와 일치한다. 본풀이의 곱셈을 그대로 반복하는 대신, 나눗셈과 약수 목록이라는 두 근거로 답을 확인했다.

처음의 6은 2와 3을 한 번씩만 곱한 값이었고, 수정한 12는 반복되는 공통 소수 2를 두 번 반영한 값이다. 이 차이는 소인수분해를 했는지보다, 각 공통 소수가 몇 개씩 존재하는지 비교했는지에서 생겼다. 운서동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 소인수분해와 실제로 나누어지는 수를 함께 놓고, 누락된 반복 인수를 스스로 표시하게 한다.

최대공약수 18만 주어진 조건으로 돌아오기

처음에 남겨 둔 새 문제에서는 두 자연수의 개별 값 대신 최대공약수 18만 주어진다. 여기서 유지되는 기준은 “두 수의 공약수 전체는 최대공약수의 양의 약수 전체”라는 관계다. 따라서 두 자연수를 정하지 않아도 18의 약수인 1, 2, 3, 6, 9, 18을 공약수 전체로 구할 수 있다. 예를 들어 두 수를 36과 54로 정하면 1, 2, 3, 6, 9, 18이 모두 두 수를 나누고, 그중 가장 큰 공약수는 18이다.

다음 확인에서는 대표 문제의 수와 기존 풀이를 보여 주지 않은 채 학생이 24와 36을 직접 소인수분해하게 한다. 학생이 풀이를 시작할 때 공통 소수의 개수까지 비교해 곱하고, 완성 뒤에는 24÷12=2, 36÷12=3과 공약수 목록이 12의 약수와 같다는 근거를 스스로 대조하는지 확인한다.