중산동 중등수학과외

중2 일차부등식 수업에서 교사는 학생이 적어 온 답안과 문제 조건을 나란히 놓았다. 고정 배송료는 2500원, 공책 한 권은 1800원이고, 총액은 16000원 이하여야 한다. 학생은 식을 정리한 뒤 “n≤7.5이므로 최대 8권”이라고 썼다. 교사는 바로 정답을 알려 주지 않고 물었다. “8권의 총액이 예산의 상한을 지키나요?” 학생은 답안의 숫자를 다시 보며, 소수 해를 그대로 올려도 되는지 잠시 멈추었다.

1800n+2500≤16000에서 맞게 한 부분 찾기

먼저 학생이 전부 잘못한 것은 아니라는 점을 확인했다. 권수 n을 사용해 총액을 1800n+2500으로 나타낸 것은 문제의 고정 비용과 공책 비용을 정확히 연결한 것이다. 또 총액이 16000원 이하라는 조건을 1800n+2500≤16000으로 옮긴 것도 맞았다. 양변에서 2500을 빼면 1800n≤13500이고, 1800으로 나누어 n≤7.5를 얻는다.

중산동중등수학과외 수업에서는 이처럼 식을 세운 과정과 마지막 선택을 따로 확인한다. 교사는 “지금 틀어진 판단은 식을 세울 때였을까요, 7.5를 정수로 바꿀 때였을까요?”라고 짧게 물었다. 학생이 “권수는 정수여야 하지만 8로 올리면 되는 것 같다”고 말한다면, 개념을 전혀 모른다고 단정하지 않고 실제 조건과 선택이 맞는지 이어서 대조한다. 반대로 8권을 선택하는 기준 자체를 설명하지 못하면, 소수 해를 반올림하는 것이 아니라 문제의 조건에 맞는 정수를 골라야 한다는 관계를 다시 짚는다.

소수 해를 반올림하지 않고 예산 안에서 고르기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 시범으로 보였다. “권수 n은 0 이상의 정수이고, 예산을 초과하면 안 됩니다. 그러면 7.5 이하의 정수 중 어디까지 가능할까요?”라고 말한 뒤, 수직선에서 7.5의 왼쪽에 있는 정수들을 표시했다. 이때 학생에게 맡긴 것은 상한 이하의 정수로 내려 선택하는 일이었다.

학생은 처음 답안의 마지막 부분을 지우고 직접 다시 적었다. “권수 n은 0 이상의 정수이다. 1800n+2500≤16000, 따라서 n≤7.5이다. n은 정수이고 예산을 넘을 수 없으므로 7.5보다 크지 않은 정수 가운데 가장 큰 수를 택한다. 최대 7권.” 처음 풀이와 달라진 부분은 부등식 계산이 아니라, 소수 해를 반올림하지 않고 조건을 만족하는 정수로 선택한 점이다.

7권과 8권의 총액으로 경계 확인하기

이번에는 같은 부등식을 다시 계산하는 대신 경계에 있는 두 경우를 직접 비교했다. 7권이면 2500+1800×7=2500+12600=15100원이므로 16000원 이하이다. 8권이면 2500+1800×8=2500+14400=16900원이므로 예산을 900원 초과한다. 따라서 7권은 조건을 지키고 8권은 조건을 깨므로, 최대 권수는 7권이다. 이 검산은 7.5를 반올림할 수 없는 이유를 총액으로 보여 준다.

상한에서 하한으로 바뀐 새 조건

새 문제에서는 지금 2500원이 있고 공책 한 권을 팔 때마다 1800원을 받는다. 총액을 16000원 이상으로 만들려면 최소 몇 권을 팔아야 할까? 대표 문제와 공통으로 유지되는 원리는 권수 n이 0 이상인 정수라는 점과, 소수 해를 얻은 뒤 정수 조건에 맞는 값을 골라야 한다는 점이다. 하지만 이번에는 “이하”인 상한 안에서 최대 구매 개수를 찾는 것이 아니라, “이상”인 하한을 넘는 최소 판매 개수를 찾아야 하므로 선택 방향이 반대다.

학생은 2500+1800n≥16000을 세우고, 1800n≥13500, n≥7.5라고 정리한다. 하한 이상이어야 하므로 7.5보다 큰 정수 중 가장 작은 수인 8을 선택한다. 7권이면 15100원으로 부족하고 8권이면 16900원으로 조건을 만족한다. 다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 다시 제시하고 풀이와 답을 가린 뒤, 학생이 상한 이하의 정수에서는 아래로 내려 7을 고르는지, 새 하한 문제에서는 위로 올라 8을 고르는지 도움 없이 식과 선택 이유를 함께 적는지 확인한다.