영종국제도시 중등수학과외

새 조건에서 먼저 확인한 공통 결과

수업은 “공정한 주사위를 한 번 던질 때 짝수이면서 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하라”는 문제로 시작했다. 학생은 주사위의 결과를 1부터 6까지 적은 뒤, 짝수인 결과는 2, 4, 6이고 4보다 큰 결과는 5, 6이라고 구분했다. 두 조건을 모두 만족하는 수를 찾으니 6 하나만 남았고, 학생은 1/6이라고 답했다. 이 문제에서는 ‘이면서’가 두 조건을 동시에 만족한다는 뜻이므로, 공통으로 겹치는 결과만 고른 판단은 적절했다.

교사는 학생이 단순히 외운 식을 쓴 것인지 확인하기 위해 “2처럼 한 조건만 맞는 결과도 포함될까?”라고 물었다. 학생이 새 문제의 ‘이면서’와 다른 점을 말하지 못한다면, 조건을 읽는 과정에서 연결어의 의미를 구분하는지 더 확인하기로 했다. 정답만 맞았다는 이유로 판단 과정을 확정하지 않고, 결과마다 어떤 조건을 만족하는지 말하게 하여 풀이의 근거를 살폈다.

짝수와 4보다 큰 수를 ‘또는’으로 묶기

이제 비교할 문제는 “1~6이 같은 확률로 나오는 주사위를 한 번 던진다. 짝수이거나 4보다 큰 수가 나올 확률을 구하라”이다. 학생은 처음에 “두 조건 모두 맞는 6만 해당하므로 1/6”이라고 적었다. 짝수와 4보다 큰 수가 겹치는 결과를 찾은 것 자체는 맞지만, ‘또는’을 두 조건 모두 맞아야 한다는 뜻으로 바꾼 순간 판단이 달라졌다.

교사는 “2처럼 한 조건만 맞는 결과가 ‘또는’에 포함될까?”라고 다시 질문했다. 학생이 2는 짝수이지만 4보다 크지는 않다고 말하자, 교사는 ‘또는’은 적어도 한 조건이 맞으면 포함한다는 관계만 짧게 설명했다. 이어서 각 결과를 하나씩 확인하도록 했다. 1은 어느 조건에도 맞지 않고, 2와 4는 짝수이며, 5는 4보다 크고, 6은 두 조건에 모두 해당한다. 3은 제외된다.

학생은 교사의 계산을 그대로 옮기지 않고, 직접 “짝수 {2,4,6}, 4보다 큰 수 {5,6}”이라고 썼다. 그런 다음 중복되는 6을 두 번 세지 않도록 합친 결과를 {2,4,5,6}으로 정리했다. 따라서 유리한 결과는 4개이고 전체 결과는 6개이므로 4/6=2/3이다. 처음 풀이의 {6}은 공통 결과만 모은 집합이었지만, 수정 풀이의 {2,4,5,6}은 둘 중 하나 이상을 만족하는 결과를 모은 집합이라는 차이를 학생이 말로 설명했다.

계산과 조건을 따로 검산하기

이번에는 같은 4/6을 다시 세는 대신, 조건에 맞지 않는 결과를 확인하는 방식으로 검산했다. 전체 결과 {1,2,3,4,5,6}에서 짝수도 아니고 4보다 크지도 않은 수는 1과 3뿐이다. 제외되는 확률은 2/6이므로, 원하는 확률은 1−2/6=4/6=2/3이다. 처음의 1/6은 6만 선택했기 때문에 ‘또는’의 범위를 충분히 반영하지 못한 값이다. 학생은 두 검산 결과가 같다는 사실보다, 왜 1과 3만 제외되는지를 조건과 연결해 설명했다.

마지막에는 조건을 다시 바꾼 문제로 돌아왔다. “공정한 주사위를 한 번 던질 때 짝수이면서 4보다 큰 수가 나올 확률”에서는 ‘또는’이 ‘이면서’로 바뀌었으므로, 둘 중 하나만 맞는 결과를 포함하면 안 된다. 2와 4는 두 번째 조건에 맞지 않고, 5는 첫 번째 조건에 맞지 않으며, 두 조건을 모두 만족하는 결과는 6 하나뿐이다. 따라서 확률은 1/6이다. 다음 문제에서는 학생이 풀이를 시작할 때 각 결과가 둘 중 하나 이상을 만족하는지 먼저 표시하고, 조건에 맞지 않는 결과를 이용한 검산까지 도움 없이 남기게 한다. 교사는 집합에 적힌 수와 학생이 말한 조건이 일치하는지, ‘또는’과 ‘이면서’의 차이를 계산 전에 설명하는지를 확인한다.