원당동 중등수학과외

반지름에서 빗변으로 거꾸로 묻는 적용 문제

수업은 먼저 방향을 바꾼 문제로 시작한다. 직각삼각형의 외접원 반지름이 7cm일 때 빗변의 길이를 구하는 문항이다. 학생은 원의 반지름과 지름의 관계를 떠올리며 식을 적어야 한다. 직각삼각형에서는 빗변이 외접원의 지름이므로, 빗변의 길이는 7×2=14cm이다. 이때 단순히 숫자를 두 배로 만드는 데서 멈추지 않고, 왜 빗변이 지름이 되는지 설명하는지가 중요하다. 학생은 “빗변의 양 끝점에서 원의 중심까지의 거리가 각각 반지름 7cm이므로, 빗변 전체는 반지름 두 개를 이어 붙인 길이”라고 말하고 14cm를 답으로 적는다.

이 장면에서 원당동중등수학과외 수업은 공식을 외웠는지보다 조건의 방향을 바꾸어도 같은 성질을 찾아내는지 확인하는 데 초점을 둔다. 반지름을 구하던 문제에서는 빗변을 2로 나누지만, 이번에는 반지름에서 빗변을 찾으므로 2를 곱한다. 다만 이 관계는 아무 삼각형에나 적용되는 것이 아니라, 한 각이 직각인 삼각형에서 빗변의 중점이 외심이 된다는 조건을 함께 요구한다.

“중점이면 항상 같다”는 답안에서 빠진 조건 찾기

비교할 대표 문항은 ∠A=90°인 삼각형 ABC에서 BC=10cm이고, BC의 중점을 O라 할 때 OA, OB, OC를 구하는 문제다. 학생의 처음 답안에는 “어떤 삼각형이든 한 변의 중점에서 세 꼭짓점까지 거리가 같다”라고 적혀 있었다. 결론만 보면 세 거리를 같게 본 점은 직각삼각형의 외심 성질과 닿아 있지만, “어떤 삼각형이든”이라고 넓힌 부분이 문제 조건과 어긋난다.

교사는 바로 식을 고쳐 주지 않고 “직각 조건이 없어도 빗변을 말할 수 있을까?”라고 묻는다. 학생이 “BC가 빗변”이라고 대답한다면, 그 설명과 처음 쓴 문장을 나란히 놓고 비교한다. 빗변은 직각의 맞은편 변인데, 모든 삼각형에 빗변이 있는 것은 아니기 때문이다. 학생이 질문에는 직각 조건을 언급하면서 풀이 첫 줄에서는 중점만으로 결론을 낸다면, 말로 알고 있는 조건과 실제 풀이에 반영한 조건 사이의 차이가 처음 달라진 판단으로 좁혀진다.

직각과 빗변을 함께 표시한 수정 풀이

교사는 필요한 만큼만 “빗변 중점 성질은 그 변의 맞은편 각이 직각일 때 적용된다”라고 설명하고, ∠A=90°와 BC가 그 맞은편 변이라는 표시만 답안에 남긴다. 이후 계산은 학생이 직접 이어 간다. 학생은 먼저 BC가 직각의 맞은편에 있으므로 빗변이라고 적고, O가 빗변 BC의 중점이므로 OB=OC=BC÷2=10÷2=5cm라고 쓴다. 이어 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이라는 성질을 사용해 OA=OB=OC=5cm라고 정리한다.

처음 풀이와 달라진 점은 중점이라는 말만 보고 모든 삼각형에 결론을 적용하지 않았다는 데 있다. 수정 풀이에서는 먼저 직각 조건을 확인하고, 그 직각의 맞은편 변이 빗변인지 판단한 뒤 중점 성질을 사용한다. 교사는 학생에게 “이 성질을 쓸 수 있는 조건을 답안에 표시해 보자”라고 요청하고, 학생이 ∠A=90°, BC는 빗변, O는 BC의 중점이라는 세 정보를 직접 표시하는지 확인한다.

다른 방식의 검산과 다음 확인 행동

검산은 같은 나눗셈을 다시 반복하지 않는다. O를 중심으로 반지름 5cm인 원을 생각하면 B와 C는 O에서 각각 5cm 떨어져 있고, 직각삼각형의 외심 성질에 따라 A도 같은 원 위에 놓인다. 따라서 OB=OC=BC/2=5cm이고 세 꼭짓점은 O를 중심으로 반지름 5cm인 원 위에 있다는 설명이 원래 답과 조건을 동시에 뒷받침한다. 이 검산으로 학생은 5cm라는 숫자뿐 아니라 O가 외심이라는 위치의 의미까지 확인한다.

다음에는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생은 ∠A=90°인지 먼저 표시하고, 그 결과 BC가 빗변임을 말한 뒤, O가 BC의 중점이라는 조건을 연결해 OA, OB, OC를 혼자 구해야 한다. 필요할 때 교사는 “빗변 중점 성질은 그 변의 맞은편 각이 직각일 때 적용된다”까지만 다시 제시한다. 이후 학생이 OB=OC=BC/2=5cm를 쓰고 세 꼭짓점이 반지름 5cm인 원 위에 놓인다는 검산 근거까지 설명하는지 확인한다.